Номер 11.14, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.14. 1) $x^2 - 5x - \frac{6|x|}{x} = 0;$

2) $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0;$

3) $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0;$

4) $x|x| + 7x + 12 = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^2 - 5x - \frac{6|x|}{x} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.
Для решения уравнения рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $x > 0$
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x - \frac{6x}{x} = 0$
$x^2 - 5x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -1$.
Проверяем условие $x > 0$. Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет этому условию, а $x_2 = -1$ — нет. Таким образом, $x = 6$ является решением.
Случай 2: $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x^2 - 5x - \frac{6(-x)}{x} = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $x_3 = 2$ и $x_4 = 3$.
Проверяем условие $x < 0$. Ни один из корней не удовлетворяет этому условию.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение.
Ответ: 6.

2) Исходное уравнение: $x^2 + \frac{5x^2}{|x|} - 6 = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде:
$|x|^2 + \frac{5|x|^2}{|x|} - 6 = 0$
Так как $x \neq 0$, то $|x| > 0$, поэтому можно сократить дробь:
$|x|^2 + 5|x| - 6 = 0$
Введем замену переменной: пусть $t = |x|$. Так как $x \neq 0$, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 + 5t - 6 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.
Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к исходной переменной:
$|x| = t_1 = 1$
Из этого уравнения получаем два решения: $x = 1$ и $x = -1$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -1; 1.

3) Исходное уравнение: $\frac{x^3}{|x|} - 7x + 12 = 0$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x > 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение становится:
$\frac{x^3}{x} - 7x + 12 = 0$
$x^2 - 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $x > 0$, поэтому оба являются решениями.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение становится:
$\frac{x^3}{-x} - 7x + 12 = 0$
$-x^2 - 7x + 12 = 0$
$x^2 + 7x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = 7^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$
Корни: $x = \frac{-7 \pm \sqrt{97}}{2}$.
Рассмотрим каждый корень:
$x_3 = \frac{-7 + \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} \approx 9.85$, то $-7 + \sqrt{97} > 0$, значит $x_3 > 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$. Этот корень очевидно меньше нуля, так что он удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.
Объединяя результаты, получаем три решения.
Ответ: $3; 4; \frac{-7 - \sqrt{97}}{2}$.

4) Исходное уравнение: $x|x| + 7x + 12 = 0$.
Это уравнение определено для всех действительных чисел $x$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x \ge 0$
Тогда $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 7x + 12 = 0$
$x^2 + 7x + 12 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.
Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \ge 0$. В этом случае решений нет.
Случай 2: $x < 0$
Тогда $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x(-x) + 7x + 12 = 0$
$-x^2 + 7x + 12 = 0$
$x^2 - 7x - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = (-7)^2 - 4(1)(-12) = 49 + 48 = 97$
Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$.
Рассмотрим каждый корень:
$x_3 = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$. Этот корень положителен и не удовлетворяет условию $x < 0$.
$x_4 = \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$. Так как $\sqrt{97} \approx 9.85$, то $7 - \sqrt{97} < 0$. Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$ и является решением.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $\frac{7 - \sqrt{97}}{2}$.