Номер 11.10, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.10. Найдите сумму квадратов корней уравнения:

1) $x^2 + 2\vert x \vert - 1 = 0;$

2) $x^2 - 4\vert x \vert - 1 = 0.$

1) $x^2 + 2|x| - 1 = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Это позволяет сделать замену переменной, чтобы упростить уравнение.

Пусть $t = |x|$. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 + 2t - 1 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2(1)} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$.

Мы получили два возможных значения для $t$:

$t_1 = -1 + \sqrt{2}$

$t_2 = -1 - \sqrt{2}$

Теперь проверим условие $t \ge 0$.

Корень $t_1 = \sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$. Так как $\sqrt{2} > 1$, то $t_1 > 0$, следовательно, этот корень является допустимым.

Корень $t_2 = -1 - \sqrt{2}$ очевидно меньше нуля, поэтому он не удовлетворяет условию $t \ge 0$ и является посторонним.

Итак, у нас есть единственное подходящее решение для $t$: $t_0 = \sqrt{2} - 1$.

Вернемся к исходной переменной $x$, решив уравнение $|x| = t_0$:

$|x| = \sqrt{2} - 1$.

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{2} - 1$ и $x_2 = -(\sqrt{2} - 1) = 1 - \sqrt{2}$.

Требуется найти сумму квадратов этих корней, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Так как $x^2 = |x|^2 = t_0^2$ для обоих корней, то $x_1^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$ и $x_2^2 = (1 - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{2} - 1)^2$.

Сумма квадратов равна $x_1^2 + x_2^2 = 2 \cdot (\sqrt{2} - 1)^2$.

Вычислим значение выражения:

$2 \cdot ((\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 2 \cdot (2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2 \cdot (3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}$.

Можно было также использовать тот факт, что $t_0$ является корнем уравнения $t^2 + 2t - 1 = 0$, откуда $t_0^2 = 1 - 2t_0$. Тогда сумма квадратов равна $2t_0^2 = 2(1 - 2t_0) = 2 - 4t_0 = 2 - 4(\sqrt{2}-1) = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2}$.

Ответ: $6 - 4\sqrt{2}$

2) $x^2 - 4|x| - 1 = 0$

Это уравнение также решается с помощью замены переменной. Как и в предыдущем случае, положим $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - 4t - 1 = 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2(1)} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = 2 + \sqrt{5}$

$t_2 = 2 - \sqrt{5}$

Проверим условие $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2 + \sqrt{5}$ является положительным числом, поэтому он подходит.

Корень $t_2 = 2 - \sqrt{5} \approx 2 - 2.236 < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Следовательно, единственное допустимое значение для $t$ это $t_0 = 2 + \sqrt{5}$.

Возвращаемся к переменной $x$ из уравнения $|x| = t_0$:

$|x| = 2 + \sqrt{5}$.

Корнями исходного уравнения являются $x_1 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_2 = -(2 + \sqrt{5})$.

Найдем сумму их квадратов: $x_1^2 + x_2^2$.

Так как $x_1^2 = |x_1|^2 = t_0^2$ и $x_2^2 = |x_2|^2 = t_0^2$, то искомая сумма равна $2t_0^2$.

Поскольку $t_0$ является корнем уравнения $t^2 - 4t - 1 = 0$, то для него справедливо равенство $t_0^2 - 4t_0 - 1 = 0$, откуда $t_0^2 = 4t_0 + 1$.

Подставим это выражение в формулу для суммы квадратов:

$x_1^2 + x_2^2 = 2t_0^2 = 2(4t_0 + 1) = 8t_0 + 2$.

Теперь подставим численное значение $t_0 = 2 + \sqrt{5}$:

$8(2 + \sqrt{5}) + 2 = 16 + 8\sqrt{5} + 2 = 18 + 8\sqrt{5}$.

Ответ: $18 + 8\sqrt{5}$