Номер 11.5, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.5. 1) $x - 3 + 4\sqrt{x-3} = 12;$

2) $x + 2 - 13\sqrt{x+2} = -42;$

3) $x + 17 = 10\sqrt{x-4};$

4) $x = 32 + 2\sqrt{x+3}.$

1) Решим уравнение $x - 3 + 4\sqrt{x-3} = 12$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.
Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-3}$. Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Из замены следует, что $y^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + 4y = 12$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 4y - 12 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -12, а их сумма равна -4. Корнями являются числа -6 и 2.
$y_1 = -6$, $y_2 = 2$.
Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_1 = -6$ является посторонним.
Остается единственный подходящий корень $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x-3} = 2$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 = 2^2$
$x-3 = 4$
$x = 7$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=7$ ОДЗ ($x \ge 3$). Да, $7 \ge 3$.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$7 - 3 + 4\sqrt{7-3} = 4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное.
Ответ: $7$.

2) Решим уравнение $x + 2 - 13\sqrt{x+2} = -42$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+2}$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.
Тогда $y^2 = x+2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 13y = -42$
$y^2 - 13y + 42 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 42. Корнями являются числа 6 и 7.
$y_1 = 6$, $y_2 = 7$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $y$.
Выполним обратную замену для каждого корня.
Случай 1: $y_1 = 6$
$\sqrt{x+2} = 6$
Возводим в квадрат: $x+2 = 6^2 = 36$.
$x_1 = 34$.
Случай 2: $y_2 = 7$
$\sqrt{x+2} = 7$
Возводим в квадрат: $x+2 = 7^2 = 49$.
$x_2 = 47$.
Оба найденных значения, 34 и 47, удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$).
Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение.
Для $x=34$: $34+2 - 13\sqrt{34+2} = 36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Равенство $-42 = -42$ верное.
Для $x=47$: $47+2 - 13\sqrt{47+2} = 49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Равенство $-42 = -42$ верное.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $34; 47$.

3) Решим уравнение $x + 17 = 10\sqrt{x-4}$.
ОДЗ: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Так как правая часть уравнения $10\sqrt{x-4}$ неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x+17 \ge 0 \implies x \ge -17$.
Объединяя условия, получаем, что любой корень должен удовлетворять неравенству $x \ge 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(x+17)^2 = (10\sqrt{x-4})^2$
$x^2 + 34x + 289 = 100(x-4)$
$x^2 + 34x + 289 = 100x - 400$
$x^2 - 66x + 689 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 689 = 4356 - 2756 = 1600 = 40^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{66 + 40}{2} = \frac{106}{2} = 53$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{66 - 40}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Оба корня, 53 и 13, удовлетворяют условию $x \ge 4$. Так как мы возводили уравнение в квадрат, необходима проверка найденных корней.
Проверка для $x=13$: $13 + 17 = 30$; $10\sqrt{13-4} = 10\sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30$. Равенство $30 = 30$ верное.
Проверка для $x=53$: $53 + 17 = 70$; $10\sqrt{53-4} = 10\sqrt{49} = 10 \cdot 7 = 70$. Равенство $70 = 70$ верное.
Оба корня подходят.
Ответ: $13; 53$.

4) Решим уравнение $x = 32 + 2\sqrt{x+3}$.
ОДЗ: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Изолируем радикал в одной части уравнения:
$x - 32 = 2\sqrt{x+3}$
Правая часть $2\sqrt{x+3}$ неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-32 \ge 0 \implies x \ge 32$.
Это более сильное условие, чем ОДЗ, поэтому любой корень должен удовлетворять неравенству $x \ge 32$.
Возведем обе части уравнения $x-32 = 2\sqrt{x+3}$ в квадрат:
$(x-32)^2 = (2\sqrt{x+3})^2$
$x^2 - 64x + 1024 = 4(x+3)$
$x^2 - 64x + 1024 = 4x + 12$
$x^2 - 68x + 1012 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1012 = 4624 - 4048 = 576 = 24^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{68 + 24}{2} = \frac{92}{2} = 46$.
$x_2 = \frac{68 - 24}{2} = \frac{44}{2} = 22$.
Теперь проверим корни на соответствие условию $x \ge 32$.
Корень $x_1 = 46$ удовлетворяет условию ($46 \ge 32$).
Корень $x_2 = 22$ не удовлетворяет условию ($22 < 32$), поэтому является посторонним.
Проверим единственный подходящий корень $x=46$ подстановкой в исходное уравнение:
$46 = 32 + 2\sqrt{46+3}$
$46 = 32 + 2\sqrt{49}$
$46 = 32 + 2 \cdot 7$
$46 = 32 + 14$
$46 = 46$. Равенство верное.
Ответ: $46$.