Страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях можно использовать способ введения новых переменных при решении уравнений?

2. Для чего используется способ введения новых переменных при решении уравнений?

1. В каких случаях можно использовать способ введения новых переменных при решении уравнений?

Способ введения новых переменных (или метод замены) используется в тех случаях, когда исходное уравнение, выглядящее сложным, имеет определенную структуру, а именно, содержит одно или несколько повторяющихся выражений. Заменив такое выражение новой переменной, мы приводим уравнение к более простому, стандартному виду, который легко решается.

Основные типы уравнений, где этот метод особенно эффективен:

а) Биквадратные уравнения. Это уравнения вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Здесь повторяющимся выражением является $x^2$. Вводя замену $t = x^2$ (причем $t \ge 0$), мы получаем обычное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

б) Уравнения, сводящиеся к квадратным. Это более общий случай, когда в уравнении многократно встречается не просто степень переменной, а целое выражение. Например, в уравнении $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 120$ повторяется выражение $x^2 - 5x$. Сделав замену $t = x^2 - 5x$, получим уравнение $(t+4)(t+6)=120$, которое легко сводится к квадратному.

в) Однородные уравнения. Например, тригонометрическое уравнение вида $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$. Если $\cos x \neq 0$, можно разделить все уравнение на $\cos^2 x$ и получить $a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$. Замена $t = \tan x$ приводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$.

г) Симметрические (возвратные) уравнения. Это уравнения вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$. После деления на $x^2$ (проверив, что $x=0$ не является корнем) и группировки, оно приводится к виду $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$. Здесь можно ввести замену $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$, и уравнение снова становится квадратным относительно $t$.

д) Дробно-рациональные уравнения. В некоторых таких уравнениях замена также упрощает решение. Например, в уравнении $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = \frac{5}{2}$ можно заметить, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделав замену $t = \frac{x^2+1}{x}$, получим простое уравнение $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Ответ: Способ введения новых переменных можно использовать, когда в уравнении присутствует повторяющееся выражение, замена которого на новую переменную позволяет свести исходное сложное уравнение к более простому и стандартному виду (чаще всего к квадратному).

2. Для чего используется способ введения новых переменных при решении уравнений?

Основная цель использования способа введения новых переменных — упрощение структуры исходного уравнения. Этот метод позволяет преобразовать громоздкое или нестандартное уравнение в более простое и знакомое, для которого существуют стандартные алгоритмы решения.

Конкретные цели и преимущества этого метода:

1. Понижение степени уравнения. Например, биквадратное уравнение четвертой степени $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ с помощью замены $t = x^2$ превращается в квадратное уравнение второй степени $t^2 - 13t + 36 = 0$, которое легко решить.

2. Избавление от сложных выражений. Замена позволяет "спрятать" сложное выражение под одной буквой, что делает структуру уравнения более наглядной и понятной. Это уменьшает вероятность ошибок при алгебраических преобразованиях.

3. Сведение к известному типу уравнений. Часто уравнения, которые на первый взгляд не кажутся ни линейными, ни квадратными, после удачной замены превращаются именно в них. Это позволяет применить известные формулы и методы (например, формулу корней квадратного уравнения).

Таким образом, этот способ является стратегическим приемом, который разбивает одну сложную задачу на несколько более простых шагов:

1. Найти подходящую замену.

2. Решить новое, более простое уравнение относительно новой переменной.

3. Выполнить обратную замену и решить одно или несколько простейших уравнений для нахождения исходной переменной.

Ответ: Способ введения новых переменных используется для того, чтобы упростить вид исходного уравнения, сведя его к более простому или стандартному типу (например, к квадратному), которое можно легко решить известными методами.

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.1–11.6):

11.1. 1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0;$

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0;$

3) $9x^4 + 23x^2 - 12 = 0;$

4) $16x^4 - 409x^2 + 225 = 0.$

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то должно выполняться условие $t \ge 0$.
Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 5t + 4 = 0$.
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 5$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = 4$. Отсюда легко подобрать корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.
Либо решим через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$.
$t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Оба корня ($1$ и $4$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену для нахождения $x$.
1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_{1,2} = \pm 1$.
2. Если $t = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_{3,4} = \pm 2$.
Таким образом, уравнение имеет четыре корня.
Ответ: $-2; -1; 1; 2$.

2) $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Введем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - 8t - 9 = 0$.
Решим его. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Либо через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$.
$t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 10}{2}$.
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1$.
Проверим найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 9$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($x^2$ не может быть отрицательным), поэтому это посторонний корень для нашей замены.
Выполним обратную замену для $t = 9$:
$x^2 = 9$.
$x = \pm\sqrt{9}$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-3; 3$.

3) $9x^4 + 23x^2 - 12 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
После замены получаем квадратное уравнение:
$9t^2 + 23t - 12 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-12) = 529 + 432 = 961$.
Так как $30^2=900$, проверим $31^2 = 961$. Значит $\sqrt{D} = 31$.
$t = \frac{-23 \pm 31}{2 \cdot 9} = \frac{-23 \pm 31}{18}$.
$t_1 = \frac{-23 + 31}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
$t_2 = \frac{-23 - 31}{18} = \frac{-54}{18} = -3$.
Сравним корни с условием $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 4/9$ подходит.
Корень $t_2 = -3$ не подходит, так как он отрицательный.
Произведем обратную замену:
$x^2 = \frac{4}{9}$.
$x = \pm \sqrt{\frac{4}{9}}$, откуда $x_{1,2} = \pm \frac{2}{3}$.
Уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

4) $16x^4 - 409x^2 + 225 = 0$

Для решения этого биквадратного уравнения введем новую переменную $t = x^2$, где $t \ge 0$.
Уравнение преобразуется в квадратное:
$16t^2 - 409t + 225 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-409)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 225 = 167281 - 64 \cdot 225 = 167281 - 14400 = 152881$.
Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{152881} = 391$.
Найдем корни для $t$:
$t = \frac{-(-409) \pm 391}{2 \cdot 16} = \frac{409 \pm 391}{32}$.
$t_1 = \frac{409 + 391}{32} = \frac{800}{32} = 25$.
$t_2 = \frac{409 - 391}{32} = \frac{18}{32} = \frac{9}{16}$.
Оба корня, $t_1 = 25$ и $t_2 = \frac{9}{16}$, положительны и удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня.
1. При $t = 25$:
$x^2 = 25 \implies x = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.
2. При $t = \frac{9}{16}$:
$x^2 = \frac{9}{16} \implies x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}$.
Уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $-5; -\frac{3}{4}; \frac{3}{4}; 5$.

11.2. 1) $x^2 - 7|x| + 6 = 0$;

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0$;

3) $(x - 2)^2 - 8|x - 2| + 15 = 0$;

4) $(x + 3)^2 - |x + 3| - 30 = 0$.

1) $x^2 - 7|x| + 6 = 0$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Поэтому уравнение можно переписать в виде $|x|^2 - 7|x| + 6 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом, по определению модуля, $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 7t + 6 = 0$.

Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна $7$, а их произведение равно $6$. Корнями являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 6$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $|x| = 1$, откуда $x = 1$ или $x = -1$.

2. Если $t = 6$, то $|x| = 6$, откуда $x = 6$ или $x = -6$.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-6; -1; 1; 6$.

2) $x^2 - 4|x| - 21 = 0$

Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как $|x|^2 - 4|x| - 21 = 0$.

Введем новую переменную $t = |x|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:
$t^2 - 4t - 21 = 0$.

Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 = 10^2$.

Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = -3$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = 7$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается единственный подходящий корень $t_2 = 7$.

Выполним обратную замену: $|x| = 7$.

Из этого уравнения получаем два решения: $x = 7$ и $x = -7$.

Ответ: $-7; 7$.

3) $(x - 2)^2 - 8|x - 2| + 15 = 0$

Так как $(x - 2)^2 = |x - 2|^2$, сделаем замену переменной $t = |x - 2|$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:
$t^2 - 8t + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $8$, произведение равно $15$. Следовательно, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительные, поэтому оба подходят.

Вернемся к переменной $x$:

1. $|x - 2| = 3$. Это уравнение равносильно совокупности:
$x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$.
$x = 5$ или $x = -1$.

2. $|x - 2| = 5$. Это уравнение равносильно совокупности:
$x - 2 = 5$ или $x - 2 = -5$.
$x = 7$ или $x = -3$.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-3; -1; 5; 7$.

4) $(x + 3)^2 - |x + 3| - 30 = 0$

Заметим, что $(x + 3)^2 = |x + 3|^2$. Введем замену $t = |x + 3|$, где $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:
$t^2 - t - 30 = 0$.

Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-30$. Корнями являются $t_1 = 6$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается корень $t_1 = 6$.

Выполним обратную замену: $|x + 3| = 6$.

Это уравнение распадается на два:

1. $x + 3 = 6$, откуда $x = 3$.

2. $x + 3 = -6$, откуда $x = -9$.

Ответ: $-9; 3$.

11.3.

1) $x^2 - |x - 5| = 5;$

2) $x^2 + |x + 4| = 4;$

3) $x^2 + 4x + |x + 3| + 3 = 0;$

4) $x^2 + 17 = 9x + 4|x - 3|.$

1) $x^2 - |x - 5| = 5$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - (x - 5) = 5$

$x^2 - x + 5 = 5$

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x \ge 5$.

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 5$.

$x_2 = 1$ не удовлетворяет условию $1 \ge 5$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$, и уравнение принимает вид:

$x^2 - (5 - x) = 5$

$x^2 + x - 5 = 5$

$x^2 + x - 10 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41$.

Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.

$x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$ и $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию $x < 5$.

Для $x_3 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$: так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{-1 + 6}{2} < x_3 < \frac{-1 + 7}{2}$, то есть $2.5 < x_3 < 3$. Это значение удовлетворяет условию $x < 5$.

Для $x_4 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$: так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $\frac{-1 - 7}{2} < x_4 < \frac{-1 - 6}{2}$, то есть $-4 < x_4 < -3.5$. Это значение удовлетворяет условию $x < 5$.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$, $x = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.

2) $x^2 + |x + 4| = 4$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

В этом случае $|x + 4| = x + 4$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + (x + 4) = 4$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -1$.

Проверим условие $x \ge -4$. Оба корня ($0 \ge -4$ и $-1 \ge -4$) удовлетворяют этому условию, значит, являются решениями.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.

В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$, и уравнение принимает вид:

$x^2 + (-x - 4) = 4$

$x^2 - x - 8 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 1 + 32 = 33$.

Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$.

$x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ и $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$.

Проверим условие $x < -4$.

Для $x_3 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$: так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $x_3 \approx \frac{1+5.7}{2} \approx 3.35$. Это значение не удовлетворяет условию $x < -4$.

Для $x_4 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$: $x_4 \approx \frac{1-5.7}{2} \approx -2.35$. Это значение также не удовлетворяет условию $x < -4$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $-1; 0$.

3) $x^2 + 4x + |x + 3| + 3 = 0$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Уравнение становится:

$x^2 + 4x + (x + 3) + 3 = 0$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Проверим условие $x \ge -3$. Оба корня ($-2 \ge -3$ и $-3 \ge -3$) удовлетворяют ему.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3) = -x - 3$. Уравнение становится:

$x^2 + 4x - (x + 3) + 3 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

$x(x + 3) = 0$

Корни: $x_3 = 0$, $x_4 = -3$.

Проверим условие $x < -3$.

$x_3 = 0$ не удовлетворяет условию $0 < -3$.

$x_4 = -3$ не удовлетворяет строгому неравенству $-3 < -3$.

В этом случае новых решений нет.

Ответ: $-3; -2$.

4) $x^2 + 17 = 9x + 4|x - 3|$

Перенесем все члены в левую часть: $x^2 - 9x + 17 - 4|x - 3| = 0$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Уравнение становится:

$x^2 - 9x + 17 - 4(x - 3) = 0$

$x^2 - 9x + 17 - 4x + 12 = 0$

$x^2 - 13x + 29 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 29 = 169 - 116 = 53$.

Корни: $x = \frac{13 \pm \sqrt{53}}{2}$.

Проверим условие $x \ge 3$.

$x_1 = \frac{13 + \sqrt{53}}{2}$. Так как $7 < \sqrt{53} < 8$, то $x_1 \approx \frac{13+7.3}{2} \approx 10.15$. $10.15 \ge 3$, корень подходит.

$x_2 = \frac{13 - \sqrt{53}}{2}$. Так как $7 < \sqrt{53} < 8$, то $x_2 \approx \frac{13-7.3}{2} \approx 2.85$. $2.85 \not\ge 3$, корень не подходит.

Случай 2: $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Уравнение становится:

$x^2 - 9x + 17 - 4(3 - x) = 0$

$x^2 - 9x + 17 - 12 + 4x = 0$

$x^2 - 5x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$.

Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Проверим условие $x < 3$.

$x_3 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_3 \approx \frac{5+2.2}{2} \approx 3.6$. $3.6 \not< 3$, корень не подходит.

$x_4 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $x_4 \approx \frac{5-2.2}{2} \approx 1.4$. $1.4 < 3$, корень подходит.

Ответ: $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{13 + \sqrt{53}}{2}$.

11.4. 1) $x = 5 + 4\sqrt{x}$;

2) $x - 12\sqrt{x} + 35 = 0$;

3) $2x - 1 = 3\sqrt{2x-1}$;

4) $3x - 5 - 2\sqrt{3x-5} = 0$.

1) Дано уравнение $x = 5 + 4\sqrt{x}$.
Перепишем уравнение в виде $x - 4\sqrt{x} - 5 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Подставим новую переменную в уравнение:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его, используя теорему Виета: сумма корней $t_1 + t_2 = 4$, а произведение корней $t_1 \cdot t_2 = -5$. Отсюда легко найти корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.
Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 5$ удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ не удовлетворяет условию, следовательно, это посторонний корень.
Выполним обратную замену для $t = 5$:
$\sqrt{x} = 5$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 5^2 = 25$.
Проверим найденный корень, подставив его в исходное уравнение:
$25 = 5 + 4\sqrt{25} \implies 25 = 5 + 4 \cdot 5 \implies 25 = 5 + 20 \implies 25 = 25$.
Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $25$.

2) Дано уравнение $x - 12\sqrt{x} + 35 = 0$.
ОДЗ: $x \ge 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.
Уравнение примет вид:
$t^2 - 12t + 35 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 12$ и $t_1 \cdot t_2 = 35$. Корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 7$.
Оба корня ($5$ и $7$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) Если $t = 5$, то $\sqrt{x} = 5$, откуда $x_1 = 25$.
2) Если $t = 7$, то $\sqrt{x} = 7$, откуда $x_2 = 49$.
Проверим оба решения:
Для $x=25$: $25 - 12\sqrt{25} + 35 = 25 - 12 \cdot 5 + 35 = 25 - 60 + 35 = 0$.
Для $x=49$: $49 - 12\sqrt{49} + 35 = 49 - 12 \cdot 7 + 35 = 49 - 84 + 35 = 0$.
Оба корня подходят.
Ответ: $25; 49$.

3) Дано уравнение $2x - 1 = 3\sqrt{2x - 1}$.
ОДЗ: $2x - 1 \ge 0$, откуда $2x \ge 1$ и $x \ge \frac{1}{2}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{2x - 1}$, где $t \ge 0$. Тогда $2x - 1 = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$t^2 = 3t$
$t^2 - 3t = 0$
$t(t - 3) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 0$, то $\sqrt{2x - 1} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x_1 = \frac{1}{2}$ (или 0.5).
2) Если $t = 3$, то $\sqrt{2x - 1} = 3 \implies 2x - 1 = 3^2 \implies 2x - 1 = 9 \implies 2x = 10 \implies x_2 = 5$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что оба являются решениями.
Ответ: $0.5; 5$.

4) Дано уравнение $3x - 5 - 2\sqrt{3x - 5} = 0$.
ОДЗ: $3x - 5 \ge 0$, откуда $3x \ge 5$ и $x \ge \frac{5}{3}$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{3x - 5}$, где $t \ge 0$. Тогда $3x - 5 = t^2$.
Подставим замену в уравнение:
$t^2 - 2t = 0$
$t(t - 2) = 0$
Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 0$, то $\sqrt{3x - 5} = 0 \implies 3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{3}$.
2) Если $t = 2$, то $\sqrt{3x - 5} = 2 \implies 3x - 5 = 2^2 \implies 3x - 5 = 4 \implies 3x = 9 \implies x_2 = 3$.
Оба значения $x$ удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что оба являются решениями.
Ответ: $\frac{5}{3}; 3$.

11.5. 1) $x - 3 + 4\sqrt{x-3} = 12;$

2) $x + 2 - 13\sqrt{x+2} = -42;$

3) $x + 17 = 10\sqrt{x-4};$

4) $x = 32 + 2\sqrt{x+3}.$

1) Решим уравнение $x - 3 + 4\sqrt{x-3} = 12$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.
Для решения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x-3}$. Поскольку значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.
Из замены следует, что $y^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:
$y^2 + 4y = 12$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 4y - 12 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -12, а их сумма равна -4. Корнями являются числа -6 и 2.
$y_1 = -6$, $y_2 = 2$.
Согласно условию $y \ge 0$, корень $y_1 = -6$ является посторонним.
Остается единственный подходящий корень $y_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
$\sqrt{x-3} = 2$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 = 2^2$
$x-3 = 4$
$x = 7$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=7$ ОДЗ ($x \ge 3$). Да, $7 \ge 3$.
Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:
$7 - 3 + 4\sqrt{7-3} = 4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$.
$12 = 12$. Равенство верное.
Ответ: $7$.

2) Решим уравнение $x + 2 - 13\sqrt{x+2} = -42$.
ОДЗ: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+2}$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.
Тогда $y^2 = x+2$.
Подставим в уравнение:
$y^2 - 13y = -42$
$y^2 - 13y + 42 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 42. Корнями являются числа 6 и 7.
$y_1 = 6$, $y_2 = 7$.
Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $y$.
Выполним обратную замену для каждого корня.
Случай 1: $y_1 = 6$
$\sqrt{x+2} = 6$
Возводим в квадрат: $x+2 = 6^2 = 36$.
$x_1 = 34$.
Случай 2: $y_2 = 7$
$\sqrt{x+2} = 7$
Возводим в квадрат: $x+2 = 7^2 = 49$.
$x_2 = 47$.
Оба найденных значения, 34 и 47, удовлетворяют ОДЗ ($x \ge -2$).
Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение.
Для $x=34$: $34+2 - 13\sqrt{34+2} = 36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Равенство $-42 = -42$ верное.
Для $x=47$: $47+2 - 13\sqrt{47+2} = 49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Равенство $-42 = -42$ верное.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $34; 47$.

3) Решим уравнение $x + 17 = 10\sqrt{x-4}$.
ОДЗ: $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$.
Так как правая часть уравнения $10\sqrt{x-4}$ неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x+17 \ge 0 \implies x \ge -17$.
Объединяя условия, получаем, что любой корень должен удовлетворять неравенству $x \ge 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(x+17)^2 = (10\sqrt{x-4})^2$
$x^2 + 34x + 289 = 100(x-4)$
$x^2 + 34x + 289 = 100x - 400$
$x^2 - 66x + 689 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 689 = 4356 - 2756 = 1600 = 40^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{66 + 40}{2} = \frac{106}{2} = 53$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{66 - 40}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Оба корня, 53 и 13, удовлетворяют условию $x \ge 4$. Так как мы возводили уравнение в квадрат, необходима проверка найденных корней.
Проверка для $x=13$: $13 + 17 = 30$; $10\sqrt{13-4} = 10\sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30$. Равенство $30 = 30$ верное.
Проверка для $x=53$: $53 + 17 = 70$; $10\sqrt{53-4} = 10\sqrt{49} = 10 \cdot 7 = 70$. Равенство $70 = 70$ верное.
Оба корня подходят.
Ответ: $13; 53$.

4) Решим уравнение $x = 32 + 2\sqrt{x+3}$.
ОДЗ: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Изолируем радикал в одной части уравнения:
$x - 32 = 2\sqrt{x+3}$
Правая часть $2\sqrt{x+3}$ неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-32 \ge 0 \implies x \ge 32$.
Это более сильное условие, чем ОДЗ, поэтому любой корень должен удовлетворять неравенству $x \ge 32$.
Возведем обе части уравнения $x-32 = 2\sqrt{x+3}$ в квадрат:
$(x-32)^2 = (2\sqrt{x+3})^2$
$x^2 - 64x + 1024 = 4(x+3)$
$x^2 - 64x + 1024 = 4x + 12$
$x^2 - 68x + 1012 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-68)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1012 = 4624 - 4048 = 576 = 24^2$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{68 + 24}{2} = \frac{92}{2} = 46$.
$x_2 = \frac{68 - 24}{2} = \frac{44}{2} = 22$.
Теперь проверим корни на соответствие условию $x \ge 32$.
Корень $x_1 = 46$ удовлетворяет условию ($46 \ge 32$).
Корень $x_2 = 22$ не удовлетворяет условию ($22 < 32$), поэтому является посторонним.
Проверим единственный подходящий корень $x=46$ подстановкой в исходное уравнение:
$46 = 32 + 2\sqrt{46+3}$
$46 = 32 + 2\sqrt{49}$
$46 = 32 + 2 \cdot 7$
$46 = 32 + 14$
$46 = 46$. Равенство верное.
Ответ: $46$.

11.6.

1) $(x + 3)^4 - 13(x + 3)^2 + 36 = 0$

2) $(2x - 1)^4 - (2x - 1)^2 - 12 = 0$

1) $(x+3)^4 - 13(x+3)^2 + 36 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x+3)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = (x+3)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $(x+3)^2$ на $t$ и $(x+3)^4$ на $t^2$, получим следующее квадратное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна коэффициенту при $t$ с противоположным знаком, то есть 13, а их произведение равно свободному члену, то есть 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Оба найденных значения для $t$ (4 и 9) являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.

Случай 1: $t = 4$.

$(x+3)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения:

$x+3 = 2 \quad$ или $\quad x+3 = -2$

Из первого уравнения: $x = 2 - 3 \implies x = -1$.

Из второго уравнения: $x = -2 - 3 \implies x = -5$.

Случай 2: $t = 9$.

$(x+3)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем еще два линейных уравнения:

$x+3 = 3 \quad$ или $\quad x+3 = -3$

Из первого уравнения: $x = 3 - 3 \implies x = 0$.

Из второго уравнения: $x = -3 - 3 \implies x = -6$.

В результате мы получили четыре корня для исходного уравнения.

Ответ: $-6; -5; -1; 0$.

2) $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 - 12 = 0$

Это уравнение также является биквадратным, на этот раз относительно выражения $(2x-1)$. Решим его методом замены переменной.

Пусть $y = (2x-1)^2$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Подставляем $y$ в уравнение и получаем квадратное уравнение:

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения для $y$ находятся по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 0$.

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$. Этот корень является посторонним и отбрасывается.

Продолжаем решение, выполняя обратную замену для единственного подходящего корня $y = 4$.

$(2x-1)^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2x-1 = 2 \quad$ или $\quad 2x-1 = -2$

Решаем первое линейное уравнение:

$2x = 2 + 1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Решаем второе линейное уравнение:

$2x = -2 + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-0.5; 1.5$.

11.7. Решите уравнение:

1) $|x^2 - 3x| - 10 = 0;$

2) $|x^2 + 0,1x| + 3,06 = 0;$

3) $|\frac{3}{4}x^2 + 2x| - 1 = 0;$

4) $|x^2 - \frac{1}{4}x| = \frac{3}{4}.$

5) $x^2 - 3|x| - 10 = 0;$

6) $x^2 - 2,1|x| + 1,1 = 0;$

7) $\frac{3}{4}x^2 + 2|x| - 1 = 0;$

8) $x^2 - \frac{1}{4}|x| = \frac{3}{4}.$

1) $|x^2 - 3x| - 10 = 0$

Перенесем 10 в правую часть уравнения:

$|x^2 - 3x| = 10$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

б) $x^2 - 3x = -10$

$x^2 - 3x + 10 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9 - 40 = -31$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -2$.

2) $|x^2 + 0,1x| + 3,06 = 0$

Перенесем 3,06 в правую часть уравнения:

$|x^2 + 0,1x| = -3,06$

Модуль любого действительного числа (или выражения) всегда неотрицателен, то есть $|A| \ge 0$. В данном уравнении левая часть неотрицательна, а правая - отрицательна. Такое равенство невозможно.

Ответ: нет решений.

3) $|\frac{3}{4}x^2 + 2x| - 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$|\frac{3}{4}x^2 + 2x| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $\frac{3}{4}x^2 + 2x = 1 \implies \frac{3}{4}x^2 + 2x - 1 = 0$. Умножим на 4: $3x^2 + 8x - 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 64 + 48 = 112 = 16 \cdot 7$.

$x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

б) $\frac{3}{4}x^2 + 2x = -1 \implies \frac{3}{4}x^2 + 2x + 1 = 0$. Умножим на 4: $3x^2 + 8x + 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2$.

$x_3 = \frac{-8 + 4}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

$x_4 = \frac{-8 - 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -\frac{2}{3}, x_{3,4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

4) $|x^2 - \frac{1}{4}x| = \frac{3}{4}$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:

а) $x^2 - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4} \implies x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} = 0$. Умножим на 4: $4x^2 - x - 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

б) $x^2 - \frac{1}{4}x = -\frac{3}{4} \implies x^2 - \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} = 0$. Умножим на 4: $4x^2 - x + 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 - 48 = -47$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{4}$.

5) $x^2 - 3|x| - 10 = 0$

Так как $x^2 = (|x|)^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $y = |x|$, где $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид: $y^2 - 3y - 10 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

$y_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2$.

Поскольку $y = |x| \ge 0$, корень $y_2 = -2$ является посторонним. Остается $y_1 = 5$.

Вернемся к замене: $|x| = 5$.

Это дает два корня: $x=5$ и $x=-5$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -5$.

6) $x^2 - 2,1|x| + 1,1 = 0$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $y^2 - 2,1y + 1,1 = 0$.

Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10y^2 - 21y + 11 = 0$.

$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 11 = 441 - 440 = 1$.

$y_1 = \frac{21 + 1}{20} = \frac{22}{20} = 1,1$.

$y_2 = \frac{21 - 1}{20} = \frac{20}{20} = 1$.

Оба корня для $y$ положительны, поэтому оба подходят.

а) $|x| = 1,1 \implies x = \pm 1,1$.

б) $|x| = 1 \implies x = \pm 1$.

Ответ: $x_{1,2} = \pm 1, x_{3,4} = \pm 1,1$.

7) $\frac{3}{4}x^2 + 2|x| - 1 = 0$

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $\frac{3}{4}y^2 + 2y - 1 = 0$.

Умножим уравнение на 4: $3y^2 + 8y - 4 = 0$.

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 64 + 48 = 112 = 16 \cdot 7$.

$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{3}$.

$y_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{3}$. Так как $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ и $4 = \sqrt{16}$, то $2\sqrt{7} > 4$, значит $y_1 > 0$. Этот корень подходит.

$y_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{7}}{3}$. Этот корень отрицательный, поэтому он посторонний.

Вернемся к замене: $|x| = \frac{-4 + 2\sqrt{7}}{3}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\sqrt{7}-4}{3}$.

8) $x^2 - \frac{1}{4}|x| = \frac{3}{4}$

Перепишем уравнение: $x^2 - \frac{1}{4}|x| - \frac{3}{4} = 0$.

Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид: $y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{3}{4} = 0$.

Умножим уравнение на 4: $4y^2 - y - 3 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.

$y_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1$.

$y_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $y \ge 0$, корень $y_2 = -3/4$ является посторонним. Остается $y_1 = 1$.

Вернемся к замене: $|x| = 1$.

Это дает два корня: $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.