Вопросы, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях можно использовать способ введения новых переменных при решении уравнений?

2. Для чего используется способ введения новых переменных при решении уравнений?

1. В каких случаях можно использовать способ введения новых переменных при решении уравнений?

Способ введения новых переменных (или метод замены) используется в тех случаях, когда исходное уравнение, выглядящее сложным, имеет определенную структуру, а именно, содержит одно или несколько повторяющихся выражений. Заменив такое выражение новой переменной, мы приводим уравнение к более простому, стандартному виду, который легко решается.

Основные типы уравнений, где этот метод особенно эффективен:

а) Биквадратные уравнения. Это уравнения вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Здесь повторяющимся выражением является $x^2$. Вводя замену $t = x^2$ (причем $t \ge 0$), мы получаем обычное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$.

б) Уравнения, сводящиеся к квадратным. Это более общий случай, когда в уравнении многократно встречается не просто степень переменной, а целое выражение. Например, в уравнении $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 120$ повторяется выражение $x^2 - 5x$. Сделав замену $t = x^2 - 5x$, получим уравнение $(t+4)(t+6)=120$, которое легко сводится к квадратному.

в) Однородные уравнения. Например, тригонометрическое уравнение вида $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$. Если $\cos x \neq 0$, можно разделить все уравнение на $\cos^2 x$ и получить $a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$. Замена $t = \tan x$ приводит его к квадратному уравнению $at^2 + bt + c = 0$.

г) Симметрические (возвратные) уравнения. Это уравнения вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$. После деления на $x^2$ (проверив, что $x=0$ не является корнем) и группировки, оно приводится к виду $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$. Здесь можно ввести замену $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$, и уравнение снова становится квадратным относительно $t$.

д) Дробно-рациональные уравнения. В некоторых таких уравнениях замена также упрощает решение. Например, в уравнении $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = \frac{5}{2}$ можно заметить, что второе слагаемое является обратным к первому. Сделав замену $t = \frac{x^2+1}{x}$, получим простое уравнение $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Ответ: Способ введения новых переменных можно использовать, когда в уравнении присутствует повторяющееся выражение, замена которого на новую переменную позволяет свести исходное сложное уравнение к более простому и стандартному виду (чаще всего к квадратному).

2. Для чего используется способ введения новых переменных при решении уравнений?

Основная цель использования способа введения новых переменных — упрощение структуры исходного уравнения. Этот метод позволяет преобразовать громоздкое или нестандартное уравнение в более простое и знакомое, для которого существуют стандартные алгоритмы решения.

Конкретные цели и преимущества этого метода:

1. Понижение степени уравнения. Например, биквадратное уравнение четвертой степени $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ с помощью замены $t = x^2$ превращается в квадратное уравнение второй степени $t^2 - 13t + 36 = 0$, которое легко решить.

2. Избавление от сложных выражений. Замена позволяет "спрятать" сложное выражение под одной буквой, что делает структуру уравнения более наглядной и понятной. Это уменьшает вероятность ошибок при алгебраических преобразованиях.

3. Сведение к известному типу уравнений. Часто уравнения, которые на первый взгляд не кажутся ни линейными, ни квадратными, после удачной замены превращаются именно в них. Это позволяет применить известные формулы и методы (например, формулу корней квадратного уравнения).

Таким образом, этот способ является стратегическим приемом, который разбивает одну сложную задачу на несколько более простых шагов:

1. Найти подходящую замену.

2. Решить новое, более простое уравнение относительно новой переменной.

3. Выполнить обратную замену и решить одно или несколько простейших уравнений для нахождения исходной переменной.

Ответ: Способ введения новых переменных используется для того, чтобы упростить вид исходного уравнения, сведя его к более простому или стандартному типу (например, к квадратному), которое можно легко решить известными методами.