Номер 11.6, страница 95 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.6.

1) $(x + 3)^4 - 13(x + 3)^2 + 36 = 0$

2) $(2x - 1)^4 - (2x - 1)^2 - 12 = 0$

1) $(x+3)^4 - 13(x+3)^2 + 36 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x+3)$. Для его решения введем новую переменную.

Пусть $t = (x+3)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $(x+3)^2$ на $t$ и $(x+3)^4$ на $t^2$, получим следующее квадратное уравнение:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна коэффициенту при $t$ с противоположным знаком, то есть 13, а их произведение равно свободному члену, то есть 36. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

Оба найденных значения для $t$ (4 и 9) являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.

Случай 1: $t = 4$.

$(x+3)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два линейных уравнения:

$x+3 = 2 \quad$ или $\quad x+3 = -2$

Из первого уравнения: $x = 2 - 3 \implies x = -1$.

Из второго уравнения: $x = -2 - 3 \implies x = -5$.

Случай 2: $t = 9$.

$(x+3)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем еще два линейных уравнения:

$x+3 = 3 \quad$ или $\quad x+3 = -3$

Из первого уравнения: $x = 3 - 3 \implies x = 0$.

Из второго уравнения: $x = -3 - 3 \implies x = -6$.

В результате мы получили четыре корня для исходного уравнения.

Ответ: $-6; -5; -1; 0$.

2) $(2x-1)^4 - (2x-1)^2 - 12 = 0$

Это уравнение также является биквадратным, на этот раз относительно выражения $(2x-1)$. Решим его методом замены переменной.

Пусть $y = (2x-1)^2$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то $y \ge 0$.

Подставляем $y$ в уравнение и получаем квадратное уравнение:

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения для $y$ находятся по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$y_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = 4$.

$y_2 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию, так как $4 > 0$.

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$. Этот корень является посторонним и отбрасывается.

Продолжаем решение, выполняя обратную замену для единственного подходящего корня $y = 4$.

$(2x-1)^2 = 4$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$2x-1 = 2 \quad$ или $\quad 2x-1 = -2$

Решаем первое линейное уравнение:

$2x = 2 + 1 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1.5$.

Решаем второе линейное уравнение:

$2x = -2 + 1 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-0.5; 1.5$.