Номер 11.12, страница 96 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.12. 1) $\frac{x^2 - 2x}{4x - 3} + 5 = \frac{16x - 12}{2x - x^2}$;

2) $\frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = 7$;

3) $\left(\frac{4x - 5}{3x + 2}\right)^2 + \left(\frac{3x + 2}{5 - 4x}\right)^2 = 4,25$;

4) $\left(\frac{5x + 1}{2x - 3}\right)^2 + \left(\frac{3 - 2x}{5x + 1}\right)^2 = \frac{82}{9}$.

1) $ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} + 5 = \frac{16x - 12}{2x - x^2} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

$4x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{4}$

$2x - x^2 \neq 0 \implies x(2 - x) \neq 0 \implies x \neq 0 \text{ и } x \neq 2$

Преобразуем правую часть уравнения:

$ \frac{16x - 12}{2x - x^2} = \frac{4(4x - 3)}{-x(x - 2)} = -\frac{4(4x - 3)}{x(x-2)} $

Исходное уравнение принимает вид:

$ \frac{x(x - 2)}{4x - 3} + 5 = -\frac{4(4x - 3)}{x(x - 2)} $

Введем замену. Пусть $y = \frac{x(x - 2)}{4x - 3}$. Тогда $\frac{4x-3}{x(x-2)} = \frac{1}{y}$. Уравнение примет вид:

$ y + 5 = -\frac{4}{y} $

Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 0$ и $x \neq 2$):

$ y^2 + 5y = -4 $

$ y^2 + 5y + 4 = 0 $

По теореме Виета находим корни: $y_1 = -1$, $y_2 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = -1$.

$ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -1 $

$ x^2 - 2x = -(4x - 3) $

$ x^2 - 2x = -4x + 3 $

$ x^2 + 2x - 3 = 0 $

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -4$.

$ \frac{x^2 - 2x}{4x - 3} = -4 $

$ x^2 - 2x = -4(4x - 3) $

$ x^2 - 2x = -16x + 12 $

$ x^2 + 14x - 12 = 0 $

Найдем корни через дискриминант:

$ D = 14^2 - 4(1)(-12) = 196 + 48 = 244 $

$ x = \frac{-14 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{-14 \pm 2\sqrt{61}}{2} = -7 \pm \sqrt{61} $

Корни $x_3 = -7 + \sqrt{61}$ и $x_4 = -7 - \sqrt{61}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 1; -7 - \sqrt{61}; -7 + \sqrt{61}$.

2) $ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = 7 $

ОДЗ: $7x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{7}$ и $x^2 + 4x \neq 0 \implies x(x+4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -4$.

Преобразуем вторую дробь:

$ \frac{12 - 42x}{x^2 + 4x} = \frac{-6(7x - 2)}{x^2 + 4x} $

Подставим в уравнение:

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} - \frac{-6(7x - 2)}{x^2 + 4x} = 7 $

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} + \frac{6(7x - 2)}{x^2 + 4x} = 7 $

Введем замену. Пусть $y = \frac{x^2 + 4x}{7x - 2}$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{6}{y} = 7 $

Умножим на $y$ (при $y \neq 0$, что выполняется, т.к. $x \neq 0$ и $x \neq -4$):

$ y^2 + 6 = 7y $

$ y^2 - 7y + 6 = 0 $

По теореме Виета корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 6$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 1$.

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} = 1 $

$ x^2 + 4x = 7x - 2 $

$ x^2 - 3x + 2 = 0 $

Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = 6$.

$ \frac{x^2 + 4x}{7x - 2} = 6 $

$ x^2 + 4x = 6(7x - 2) $

$ x^2 + 4x = 42x - 12 $

$ x^2 - 38x + 12 = 0 $

Найдем корни через дискриминант:

$ D = (-38)^2 - 4(1)(12) = 1444 - 48 = 1396 $

$ x = \frac{38 \pm \sqrt{1396}}{2} = \frac{38 \pm 2\sqrt{349}}{2} = 19 \pm \sqrt{349} $

Корни $x_3 = 19 + \sqrt{349}$ и $x_4 = 19 - \sqrt{349}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 2; 19 - \sqrt{349}; 19 + \sqrt{349}$.

3) $ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 + (\frac{3x + 2}{5 - 4x})^2 = 4,25 $

ОДЗ: $3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3}$ и $5 - 4x \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.

Заметим, что $5 - 4x = -(4x - 5)$. Тогда $(\frac{3x + 2}{5 - 4x})^2 = (\frac{3x + 2}{-(4x - 5)})^2 = (\frac{3x + 2}{4x - 5})^2$.

Уравнение принимает вид:

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 + (\frac{3x + 2}{4x - 5})^2 = 4,25 $

Переведем $4,25$ в дробь: $4,25 = 4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

Введем замену. Пусть $y = (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{1}{y} = \frac{17}{4} $

Умножим на $4y$ (т.к. $y > 0$):

$ 4y^2 + 4 = 17y $

$ 4y^2 - 17y + 4 = 0 $

$ D = (-17)^2 - 4(4)(4) = 289 - 64 = 225 = 15^2 $

$ y = \frac{17 \pm 15}{8} \implies y_1 = \frac{32}{8} = 4, y_2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$.

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 = 4 \implies \frac{4x - 5}{3x + 2} = \pm 2 $

a) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = 2 \implies 4x - 5 = 6x + 4 \implies 2x = -9 \implies x_1 = -4,5$.

б) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = -2 \implies 4x - 5 = -6x - 4 \implies 10x = 1 \implies x_2 = 0,1$.

Случай 2: $y = \frac{1}{4}$.

$ (\frac{4x - 5}{3x + 2})^2 = \frac{1}{4} \implies \frac{4x - 5}{3x + 2} = \pm \frac{1}{2} $

a) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = \frac{1}{2} \implies 8x - 10 = 3x + 2 \implies 5x = 12 \implies x_3 = 2,4$.

б) $\frac{4x - 5}{3x + 2} = -\frac{1}{2} \implies 8x - 10 = -3x - 2 \implies 11x = 8 \implies x_4 = \frac{8}{11}$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-4,5; 0,1; \frac{8}{11}; 2,4$.

4) $ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 + (\frac{3 - 2x}{5x + 1})^2 = \frac{82}{9} $

ОДЗ: $2x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{2}$ и $5x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{5}$.

Заметим, что $3 - 2x = -(2x - 3)$. Тогда $(\frac{3 - 2x}{5x + 1})^2 = (\frac{-(2x - 3)}{5x + 1})^2 = (\frac{2x - 3}{5x + 1})^2$.

Уравнение принимает вид:

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 + (\frac{2x - 3}{5x + 1})^2 = \frac{82}{9} $

Введем замену. Пусть $y = (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2$. Тогда уравнение примет вид:

$ y + \frac{1}{y} = \frac{82}{9} $

Умножим на $9y$ (т.к. $y > 0$):

$ 9y^2 + 9 = 82y $

$ 9y^2 - 82y + 9 = 0 $

$ D = (-82)^2 - 4(9)(9) = 6724 - 324 = 6400 = 80^2 $

$ y = \frac{82 \pm 80}{18} \implies y_1 = \frac{162}{18} = 9, y_2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} $

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 9$.

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 = 9 \implies \frac{5x + 1}{2x - 3} = \pm 3 $

a) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = 3 \implies 5x + 1 = 6x - 9 \implies x = 10$.

б) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = -3 \implies 5x + 1 = -6x + 9 \implies 11x = 8 \implies x = \frac{8}{11}$.

Случай 2: $y = \frac{1}{9}$.

$ (\frac{5x + 1}{2x - 3})^2 = \frac{1}{9} \implies \frac{5x + 1}{2x - 3} = \pm \frac{1}{3} $

a) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = \frac{1}{3} \implies 15x + 3 = 2x - 3 \implies 13x = -6 \implies x = -\frac{6}{13}$.

б) $\frac{5x + 1}{2x - 3} = -\frac{1}{3} \implies 15x + 3 = -2x + 3 \implies 17x = 0 \implies x = 0$.

Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; \frac{8}{11}; -\frac{6}{13}; 0$.