Номер 11.17, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.17. 1) $x + 5 + 4\sqrt{x + 5} = 12$;

2) $x - 7 - 13\sqrt{x - 7} = -42$;

3) $3\sqrt{x - 2} - 3 = x + 23$;

4) $x - 3 = 2\sqrt{x + 4} + 1$.

1) $x + 5 + 4\sqrt{x + 5} = 12$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения удобно использовать метод замены переменной.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x + 5}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$.

Тогда $x + 5 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 + 4t = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-12$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Теперь проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $-6 \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Остается один корень $t = 2$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sqrt{x + 5} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 5})^2 = 2^2$

$x + 5 = 4$

$x = 4 - 5$

$x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge -5$). Корень $x = -1$ удовлетворяет этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$-1 + 5 + 4\sqrt{-1 + 5} = 4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$.

$12 = 12$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

2) $x - 7 - 13\sqrt{x - 7} = -42$

Это уравнение также решается методом замены переменной.

ОДЗ: $x - 7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$.

Сделаем замену: $t = \sqrt{x - 7}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Тогда $x - 7 = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 - 13t = -42$

$t^2 - 13t + 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $13$, произведение равно $42$. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Поэтому рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 6$.

$\sqrt{x - 7} = 6$

Возводим в квадрат:

$x - 7 = 36$

$x = 36 + 7$

$x_1 = 43$

Корень $x = 43$ удовлетворяет ОДЗ ($43 \ge 7$).

Случай 2: $t = 7$.

$\sqrt{x - 7} = 7$

Возводим в квадрат:

$x - 7 = 49$

$x = 49 + 7$

$x_2 = 56$

Корень $x = 56$ также удовлетворяет ОДЗ ($56 \ge 7$).

Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение.

Для $x = 43$: $43 - 7 - 13\sqrt{43 - 7} = 36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Верно.

Для $x = 56$: $56 - 7 - 13\sqrt{56 - 7} = 49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $43; 56$.

3) $3\sqrt{x - 2} - 3 = x + 23$

ОДЗ: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$3\sqrt{x - 2} = x + 23 + 3$

$3\sqrt{x - 2} = x + 26$

Прежде чем возводить в квадрат, заметим, что левая часть уравнения $3\sqrt{x - 2}$ неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $x + 26 \ge 0$, то есть $x \ge -26$. С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), это дополнительное условие выполняется автоматически.

Возведем обе части в квадрат:

$(3\sqrt{x - 2})^2 = (x + 26)^2$

$9(x - 2) = x^2 + 52x + 676$

$9x - 18 = x^2 + 52x + 676$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 52x - 9x + 676 + 18 = 0$

$x^2 + 43x + 694 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot 694 = 1849 - 2776 = -927$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное иррациональное уравнение не имеет решений.

Альтернативный способ: замена $t = \sqrt{x-2}$ ($t \ge 0$), тогда $x=t^2+2$. Уравнение примет вид: $3t - 3 = (t^2+2)+23$, что упрощается до $t^2 - 3t + 28 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(28) = 9-112 = -103 < 0$, что также показывает отсутствие действительных решений.

Ответ: корней нет.

4) $x - 3 = 2\sqrt{x + 4} + 1$

ОДЗ: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Изолируем радикал:

$x - 3 - 1 = 2\sqrt{x + 4}$

$x - 4 = 2\sqrt{x + 4}$

Левая часть уравнения $x-4$ должна быть неотрицательной, так как она равна неотрицательному выражению $2\sqrt{x+4}$. Поэтому должно выполняться условие $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Это условие более сильное, чем ОДЗ, поэтому будем использовать его для проверки корней.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x + 4})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4(x + 4)$

$x^2 - 8x + 16 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 4x + 16 - 16 = 0$

$x^2 - 12x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 12) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет условию $12 \ge 4$.

Выполним проверку найденного корня $x = 12$ подстановкой в исходное уравнение:

$12 - 3 = 2\sqrt{12 + 4} + 1$

$9 = 2\sqrt{16} + 1$

$9 = 2 \cdot 4 + 1$

$9 = 8 + 1$

$9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $12$.