Номер 11.22, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.22–11.24):

11.22. 1) $ \frac{x - 4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x - 4} = \frac{8}{3}; $

2) $ \frac{x - 2}{\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{x - 2} = 1; $

3) $ \frac{x + 3}{\sqrt{x}} - \frac{8\sqrt{x}}{x + 3} = 2; $

4) $ \frac{x + 5}{\sqrt{x}} + \frac{8\sqrt{x}}{x + 5} = 6. $

1) $ \frac{x-4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x-4} = \frac{8}{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x$ должен быть положительным, чтобы существовал $\sqrt{x}$, и не равен нулю, т.к. стоит в знаменателе. Также знаменатель $x-4$ не должен быть равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 4$.

Введем новую переменную. Пусть $y = \frac{x-4}{\sqrt{x}}$. Тогда второе слагаемое $\frac{\sqrt{x}}{x-4}$ является обратной величиной, т.е. $\frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$y - \frac{1}{y} = \frac{8}{3}$

Домножим обе части уравнения на $3y$, чтобы избавиться от дробей (при условии $y \neq 0$):

$3y^2 - 3 = 8y$

$3y^2 - 8y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 3$

$\frac{x-4}{\sqrt{x}} = 3 \implies x - 4 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} - 4 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 3z - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 4$ и $z_2 = -1$. Так как $z = \sqrt{x}$ должен быть положительным, корень $z_2 = -1$ не подходит.

Итак, $z = 4 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -1/3$

$\frac{x-4}{\sqrt{x}} = -\frac{1}{3} \implies 3(x-4) = -\sqrt{x} \implies 3x - 12 = -\sqrt{x} \implies 3x + \sqrt{x} - 12 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$3z^2 + z - 12 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1 + 144 = 145$

$z = \frac{-1 \pm \sqrt{145}}{6}$. Так как $z > 0$, подходит только корень $z = \frac{-1 + \sqrt{145}}{6}$.

$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{145}-1}{6} \implies x = \left( \frac{\sqrt{145}-1}{6} \right)^2 = \frac{145 - 2\sqrt{145} + 1}{36} = \frac{146 - 2\sqrt{145}}{36} = \frac{73 - \sqrt{145}}{18}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $16; \frac{73 - \sqrt{145}}{18}$.

2) $ \frac{x-2}{\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{x-2} = 1 $

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 2$.

Пусть $y = \frac{x-2}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{6\sqrt{x}}{x-2} = \frac{6}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y - \frac{6}{y} = 1$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 6 = y \implies y^2 - y - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$

$\frac{x-2}{\sqrt{x}} = 3 \implies x - 2 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} - 2 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 3z - 2 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$z = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Так как $z>0$, подходит $z = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

$\sqrt{x} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \implies x = \left( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)^2 = \frac{9 + 6\sqrt{17} + 17}{4} = \frac{26 + 6\sqrt{17}}{4} = \frac{13 + 3\sqrt{17}}{2}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -2$

$\frac{x-2}{\sqrt{x}} = -2 \implies x - 2 = -2\sqrt{x} \implies x + 2\sqrt{x} - 2 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 + 2z - 2 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Так как $z>0$, подходит $z = -1 + \sqrt{3}$.

$\sqrt{x} = \sqrt{3} - 1 \implies x = (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{13 + 3\sqrt{17}}{2}; 4 - 2\sqrt{3}$.

3) $ \frac{x+3}{\sqrt{x}} - \frac{8\sqrt{x}}{x+3} = 2 $

ОДЗ: $x > 0$ (знаменатель $x+3$ при $x>0$ не равен нулю).

Пусть $y = \frac{x+3}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{8\sqrt{x}}{x+3} = \frac{8}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y - \frac{8}{y} = 2$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 8 = 2y \implies y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$

$\frac{x+3}{\sqrt{x}} = 4 \implies x + 3 = 4\sqrt{x} \implies x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 4z + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 1$ и $z_2 = 3$. Оба корня положительны.

Если $z=1$, то $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Если $z=3$, то $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.

Оба корня, $1$ и $9$, удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -2$

$\frac{x+3}{\sqrt{x}} = -2$. При $x > 0$ левая часть уравнения всегда положительна ($x+3 > 0$ и $\sqrt{x} > 0$), поэтому она не может быть равна $-2$. В этом случае решений нет.

Алгебраически: $x + 3 = -2\sqrt{x} \implies x + 2\sqrt{x} + 3 = 0$. Пусть $z = \sqrt{x}$.

$z^2 + 2z + 3 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $1; 9$.

4) $ \frac{x+5}{\sqrt{x}} + \frac{8\sqrt{x}}{x+5} = 6 $

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $y = \frac{x+5}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{8\sqrt{x}}{x+5} = \frac{8}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y + \frac{8}{y} = 6$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 + 8 = 6y \implies y^2 - 6y + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$

$\frac{x+5}{\sqrt{x}} = 2 \implies x + 5 = 2\sqrt{x} \implies x - 2\sqrt{x} + 5 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 2z + 5 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = 4$

$\frac{x+5}{\sqrt{x}} = 4 \implies x + 5 = 4\sqrt{x} \implies x - 4\sqrt{x} + 5 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 4z + 5 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Действительных корней нет.

Так как ни в одном из случаев нет действительных решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.