Страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.16. 1) $x - 8 = 2\sqrt{x}$;

2) $x - 2\sqrt{x} = 35.$

1) Решим уравнение $x - 8 = 2\sqrt{x}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Кроме того, правая часть уравнения, $2\sqrt{x}$, является неотрицательной, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $x - 8 \ge 0$, откуда $x \ge 8$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 8$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $x - 2\sqrt{x} - 8 = 0$.

Это уравнение можно свести к квадратному с помощью замены переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 = 6^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается один корень $t = 4$. Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x = 4^2 = 16$

Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 8$). Поскольку $16 \ge 8$, корень подходит.
Ответ: 16.

2) Решим уравнение $x - 2\sqrt{x} = 35$.

Перепишем уравнение в виде $x - 2\sqrt{x} - 35 = 0$.

Определим ОДЗ. Из-за наличия $\sqrt{x}$, должно выполняться условие $x \ge 0$. Также из исходного уравнения $x - 35 = 2\sqrt{x}$ следует, что $x - 35 \ge 0$, то есть $x \ge 35$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge 35$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда $x = t^2$.

Подставляем в уравнение:

$t^2 - 2t - 35 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 = 12^2$

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому отбрасываем его как посторонний.

Используем корень $t = 7$ и делаем обратную замену:

$\sqrt{x} = 7$

Возводим обе части в квадрат:

$x = 7^2 = 49$

Проверим найденный корень на соответствие ОДЗ ($x \ge 35$). Так как $49 \ge 35$, корень является решением уравнения.
Ответ: 49.

11.17. 1) $x + 5 + 4\sqrt{x + 5} = 12$;

2) $x - 7 - 13\sqrt{x - 7} = -42$;

3) $3\sqrt{x - 2} - 3 = x + 23$;

4) $x - 3 = 2\sqrt{x + 4} + 1$.

1) $x + 5 + 4\sqrt{x + 5} = 12$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения удобно использовать метод замены переменной.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.

Введем замену: пусть $t = \sqrt{x + 5}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$.

Тогда $x + 5 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 + 4t = 12$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + 4t - 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-12$. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -6$.

Теперь проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge 0$.

Корень $t_2 = -6$ не удовлетворяет условию $-6 \ge 0$, поэтому это посторонний корень.

Остается один корень $t = 2$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$\sqrt{x + 5} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 5})^2 = 2^2$

$x + 5 = 4$

$x = 4 - 5$

$x = -1$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge -5$). Корень $x = -1$ удовлетворяет этому условию. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$-1 + 5 + 4\sqrt{-1 + 5} = 4 + 4\sqrt{4} = 4 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12$.

$12 = 12$. Равенство верное.

Ответ: $-1$.

2) $x - 7 - 13\sqrt{x - 7} = -42$

Это уравнение также решается методом замены переменной.

ОДЗ: $x - 7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$.

Сделаем замену: $t = \sqrt{x - 7}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Тогда $x - 7 = t^2$. Подставим в уравнение:

$t^2 - 13t = -42$

$t^2 - 13t + 42 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $13$, произведение равно $42$. Корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = 7$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Поэтому рассмотрим оба случая.

Случай 1: $t = 6$.

$\sqrt{x - 7} = 6$

Возводим в квадрат:

$x - 7 = 36$

$x = 36 + 7$

$x_1 = 43$

Корень $x = 43$ удовлетворяет ОДЗ ($43 \ge 7$).

Случай 2: $t = 7$.

$\sqrt{x - 7} = 7$

Возводим в квадрат:

$x - 7 = 49$

$x = 49 + 7$

$x_2 = 56$

Корень $x = 56$ также удовлетворяет ОДЗ ($56 \ge 7$).

Проверим оба корня, подставив их в исходное уравнение.

Для $x = 43$: $43 - 7 - 13\sqrt{43 - 7} = 36 - 13\sqrt{36} = 36 - 13 \cdot 6 = 36 - 78 = -42$. Верно.

Для $x = 56$: $56 - 7 - 13\sqrt{56 - 7} = 49 - 13\sqrt{49} = 49 - 13 \cdot 7 = 49 - 91 = -42$. Верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $43; 56$.

3) $3\sqrt{x - 2} - 3 = x + 23$

ОДЗ: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$3\sqrt{x - 2} = x + 23 + 3$

$3\sqrt{x - 2} = x + 26$

Прежде чем возводить в квадрат, заметим, что левая часть уравнения $3\sqrt{x - 2}$ неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной: $x + 26 \ge 0$, то есть $x \ge -26$. С учетом ОДЗ ($x \ge 2$), это дополнительное условие выполняется автоматически.

Возведем обе части в квадрат:

$(3\sqrt{x - 2})^2 = (x + 26)^2$

$9(x - 2) = x^2 + 52x + 676$

$9x - 18 = x^2 + 52x + 676$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + 52x - 9x + 676 + 18 = 0$

$x^2 + 43x + 694 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D = b^2 - 4ac$:

$D = 43^2 - 4 \cdot 1 \cdot 694 = 1849 - 2776 = -927$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное иррациональное уравнение не имеет решений.

Альтернативный способ: замена $t = \sqrt{x-2}$ ($t \ge 0$), тогда $x=t^2+2$. Уравнение примет вид: $3t - 3 = (t^2+2)+23$, что упрощается до $t^2 - 3t + 28 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(28) = 9-112 = -103 < 0$, что также показывает отсутствие действительных решений.

Ответ: корней нет.

4) $x - 3 = 2\sqrt{x + 4} + 1$

ОДЗ: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.

Изолируем радикал:

$x - 3 - 1 = 2\sqrt{x + 4}$

$x - 4 = 2\sqrt{x + 4}$

Левая часть уравнения $x-4$ должна быть неотрицательной, так как она равна неотрицательному выражению $2\sqrt{x+4}$. Поэтому должно выполняться условие $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Это условие более сильное, чем ОДЗ, поэтому будем использовать его для проверки корней.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(x - 4)^2 = (2\sqrt{x + 4})^2$

$x^2 - 8x + 16 = 4(x + 4)$

$x^2 - 8x + 16 = 4x + 16$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 4x + 16 - 16 = 0$

$x^2 - 12x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 12) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 12$.

Проверим эти корни на соответствие условию $x \ge 4$.

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $0 \ge 4$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = 12$ удовлетворяет условию $12 \ge 4$.

Выполним проверку найденного корня $x = 12$ подстановкой в исходное уравнение:

$12 - 3 = 2\sqrt{12 + 4} + 1$

$9 = 2\sqrt{16} + 1$

$9 = 2 \cdot 4 + 1$

$9 = 8 + 1$

$9 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $12$.

11.18. 1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$;

2) $x^4 - 11x^2 - 12 = 0$.

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то на переменную $t$ накладывается условие $t \ge 0$.
После подстановки замены в исходное уравнение, мы получаем квадратное уравнение относительно переменной $t$:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$
Теперь найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Оба найденных значения для $t$ ($t_1 = 3$ и $t_2 = 4$) являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию $t \ge 0$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.
1. Для $t_1 = 3$:
$x^2 = 3$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{3}$
2. Для $t_2 = 4$:
$x^2 = 4$
$x_{3,4} = \pm\sqrt{4} = \pm 2$
Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.
Ответ: $-2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 2$.

2) $x^4 - 11x^2 - 12 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Применим метод замены переменной.
Пусть $t = x^2$, с условием $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид квадратного уравнения:
$t^2 - 11t - 12 = 0$
Решим его. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$
Теперь необходимо проверить найденные корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет данному условию, так как $x^2$ не может быть отрицательным в поле действительных чисел. Следовательно, это посторонний корень.
Корень $t_2 = 12$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.
Выполним обратную замену для $t = 12$:
$x^2 = 12$
$x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm 2\sqrt{3}$
Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.
Ответ: $-2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}$.

11.19.1) $(x+2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0$; 2) $(x-1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0$.

1) Дано уравнение $(x + 2)^4 + 2x^2 + 8x - 16 = 0$.

Заметим, что свободные члены можно сгруппировать, чтобы выделить выражение, похожее на $(x+2)^2$. Вынесем $2$ за скобки в членах $2x^2 + 8x$:

$2x^2 + 8x - 16 = 2(x^2 + 4x) - 16$.

Рассмотрим квадрат выражения $(x+2)$: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$. Отсюда можно выразить $x^2 + 4x = (x+2)^2 - 4$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(x + 2)^4 + 2((x+2)^2 - 4) - 16 = 0$

$(x + 2)^4 + 2(x+2)^2 - 8 - 16 = 0$

$(x + 2)^4 + 2(x+2)^2 - 24 = 0$

Получилось биквадратное уравнение относительно $(x+2)$. Введем замену: пусть $y = (x+2)^2$. Поскольку квадрат действительного числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$y^2 + 2y - 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 10}{2}$

$y_1 = \frac{-2 + 10}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-2 - 10}{2} = -6$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 4$ подходит, так как $4 \ge 0$.

Корень $y_2 = -6$ не подходит, так как $-6 < 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя подходящий корень $y=4$.

$(x+2)^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:

1. $x + 2 = 2 \implies x_1 = 0$

2. $x + 2 = -2 \implies x_2 = -4$

Ответ: $-4; 0$.

2) Дано уравнение $(x - 1)^4 - x^2 + 2x - 73 = 0$.

Сгруппируем члены $-x^2 + 2x$, чтобы выделить выражение, связанное с $(x-1)^2$.

$-x^2 + 2x - 73 = -(x^2 - 2x) - 73$.

Рассмотрим квадрат выражения $(x-1)$: $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$. Отсюда $x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$.

Подставим это выражение в уравнение:

$(x - 1)^4 - ((x-1)^2 - 1) - 73 = 0$

$(x - 1)^4 - (x-1)^2 + 1 - 73 = 0$

$(x - 1)^4 - (x-1)^2 - 72 = 0$

Получилось биквадратное уравнение относительно $(x-1)$. Введем замену: пусть $z = (x-1)^2$. Так как $z$ является квадратом действительного числа, $z \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$z^2 - z - 72 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 17}{2}$

$z_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9$

$z_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8$

Проверим корни на соответствие условию $z \ge 0$.

Корень $z_1 = 9$ подходит, так как $9 \ge 0$.

Корень $z_2 = -8$ не подходит, так как $-8 < 0$.

Вернемся к переменной $x$, используя корень $z=9$.

$(x-1)^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два случая:

1. $x - 1 = 3 \implies x_1 = 4$

2. $x - 1 = -3 \implies x_2 = -2$

Ответ: $-2; 4$.

11.20. Решите уравнение с параметром:

1) $4x^4 - (a + 36)x^2 + 9a = 0;$

2) $9x^4 - (a - 18)x^2 - 2a = 0.$

1) Исходное уравнение $4x^4 - (a + 36)x^2 + 9a = 0$ является биквадратным. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид $4t^2 - (a + 36)t + 9a = 0$. Это квадратное уравнение относительно $t$. Найдем его дискриминант: $D = (-(a + 36))^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9a = (a + 36)^2 - 144a = a^2 + 72a + 1296 - 144a = a^2 - 72a + 1296 = (a - 36)^2$. Найдем корни уравнения для $t$: $t = \frac{(a + 36) \pm \sqrt{(a - 36)^2}}{8} = \frac{a + 36 \pm |a - 36|}{8}$. Независимо от знака выражения $a-36$, корнями для $t$ являются $t_1 = 9$ и $t_2 = \frac{a}{4}$. Вернемся к замене $x^2 = t$. Так как $x^2 \ge 0$, мы должны учитывать только неотрицательные значения $t$. Корень $t_1=9$ всегда положителен, и уравнение $x^2=9$ дает корни $x = \pm 3$. Эти корни существуют при любом значении параметра $a$. Корень $t_2 = \frac{a}{4}$ является неотрицательным при $a \ge 0$. Рассмотрим различные случаи для параметра $a$. Если $a < 0$, то $t_2 < 0$, и этот корень не дает действительных решений для $x$. Остаются только корни $x = \pm 3$. Если $a = 0$, то $t_2 = 0$. Уравнение $x^2 = 0$ дает корень $x=0$. Таким образом, при $a=0$ решениями являются $x=0, \pm 3$. Если $a > 0$, то $t_2 > 0$. В этом случае оба корня для $t$ положительны. Уравнение $x^2=9$ дает корни $x=\pm 3$, а уравнение $x^2=\frac{a}{4}$ дает корни $x=\pm\frac{\sqrt{a}}{2}$. Эти наборы корней совпадают, если $9 = \frac{a}{4}$, то есть при $a=36$. При $a=36$ решением является $x = \pm 3$. Если же $a \in (0, 36) \cup (36, \infty)$, то уравнение имеет четыре различных корня: $x = \pm 3$ и $x = \pm\frac{\sqrt{a}}{2}$.
Ответ: если $a < 0$ или $a=36$, то $x = \pm 3$; если $a=0$, то $x=0, \pm 3$; если $a \in (0, 36) \cup (36, \infty)$, то $x = \pm 3, \pm \frac{\sqrt{a}}{2}$.

2) Уравнение $9x^4 - (a - 18)x^2 - 2a = 0$ является биквадратным. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратное уравнение относительно $t$: $9t^2 - (a - 18)t - 2a = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-(a - 18))^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2a) = (a - 18)^2 + 72a = a^2 - 36a + 324 + 72a = a^2 + 36a + 324 = (a + 18)^2$. Найдем корни для $t$: $t = \frac{(a - 18) \pm \sqrt{(a + 18)^2}}{2 \cdot 9} = \frac{a - 18 \pm |a + 18|}{18}$. Независимо от знака выражения $a+18$, корнями для $t$ являются $t_1 = -2$ и $t_2 = \frac{a}{9}$. Вернемся к замене $x^2=t$. Так как $x^2$ не может быть отрицательным, корень $t_1 = -2$ не дает действительных решений для $x$ ни при каком значении $a$. Рассмотрим второй корень $t_2 = \frac{a}{9}$. Уравнение $x^2 = \frac{a}{9}$ имеет действительные корни только в том случае, если правая часть неотрицательна, то есть $\frac{a}{9} \ge 0$, что эквивалентно $a \ge 0$. Проанализируем решения в зависимости от $a$. Если $a < 0$, то $t_2 = \frac{a}{9} < 0$. Оба корня для $t$ отрицательны, следовательно, действительных корней для $x$ нет. Если $a = 0$, то $t_2=0$. Уравнение $x^2=0$ имеет один корень $x=0$. Если $a > 0$, то $t_2 > 0$. Уравнение $x^2=\frac{a}{9}$ имеет два корня $x = \pm\sqrt{\frac{a}{9}} = \pm\frac{\sqrt{a}}{3}$.
Ответ: если $a < 0$, то нет корней; если $a=0$, то $x=0$; если $a > 0$, то $x = \pm \frac{\sqrt{a}}{3}$.

11.21. Решите уравнение:

1) $(x + 0.5) \cdot (x^2 - 9) = (2x + 1) \cdot (x + 3)^2;$

2) $(2x - 5) \cdot (x^2 - 0.01) = (x - 2.5) \cdot (x + 0.1)^2.$

1) $(x + 0,5) \cdot (x^2 - 9) = (2x + 1) \cdot (x + 3)^2$
Преобразуем уравнение, разложив его части на множители.
Заметим, что $2x + 1 = 2(x + 0,5)$, а выражение $x^2 - 9$ является разностью квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
$(x + 0,5)(x - 3)(x + 3) = 2(x + 0,5)(x + 3)^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$(x + 0,5)(x - 3)(x + 3) - 2(x + 0,5)(x + 3)^2 = 0$
Вынесем общие множители $(x + 0,5)(x + 3)$ за скобку:
$(x + 0,5)(x + 3) \cdot [ (x - 3) - 2(x + 3) ] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$(x - 3) - 2(x + 3) = x - 3 - 2x - 6 = -x - 9 = -(x + 9)$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$-(x + 0,5)(x + 3)(x + 9) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x + 0,5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -0,5$
$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -3$
$x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = -9$
Ответ: $-9; -3; -0,5$.

2) $(2x - 5) \cdot (x^2 - 0,01) = (x - 2,5) \cdot (x + 0,1)^2$
Преобразуем уравнение, разложив его части на множители.
Заметим, что $2x - 5 = 2(x - 2,5)$, а выражение $x^2 - 0,01$ является разностью квадратов: $x^2 - 0,01 = x^2 - (0,1)^2 = (x - 0,1)(x + 0,1)$.
Подставим эти разложения в исходное уравнение:
$2(x - 2,5)(x - 0,1)(x + 0,1) = (x - 2,5)(x + 0,1)^2$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2(x - 2,5)(x - 0,1)(x + 0,1) - (x - 2,5)(x + 0,1)^2 = 0$
Вынесем общие множители $(x - 2,5)(x + 0,1)$ за скобку:
$(x - 2,5)(x + 0,1) \cdot [ 2(x - 0,1) - (x + 0,1) ] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$2(x - 0,1) - (x + 0,1) = 2x - 0,2 - x - 0,1 = x - 0,3$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$(x - 2,5)(x + 0,1)(x - 0,3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x - 2,5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 2,5$
$x + 0,1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_2 = -0,1$
$x - 0,3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_3 = 0,3$
Ответ: $-0,1; 0,3; 2,5$.

Способом введения новой переменной решите уравнения (11.22–11.24):

11.22. 1) $ \frac{x - 4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x - 4} = \frac{8}{3}; $

2) $ \frac{x - 2}{\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{x - 2} = 1; $

3) $ \frac{x + 3}{\sqrt{x}} - \frac{8\sqrt{x}}{x + 3} = 2; $

4) $ \frac{x + 5}{\sqrt{x}} + \frac{8\sqrt{x}}{x + 5} = 6. $

1) $ \frac{x-4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{x-4} = \frac{8}{3} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x$ должен быть положительным, чтобы существовал $\sqrt{x}$, и не равен нулю, т.к. стоит в знаменателе. Также знаменатель $x-4$ не должен быть равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 4$.

Введем новую переменную. Пусть $y = \frac{x-4}{\sqrt{x}}$. Тогда второе слагаемое $\frac{\sqrt{x}}{x-4}$ является обратной величиной, т.е. $\frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$y - \frac{1}{y} = \frac{8}{3}$

Домножим обе части уравнения на $3y$, чтобы избавиться от дробей (при условии $y \neq 0$):

$3y^2 - 3 = 8y$

$3y^2 - 8y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$.

Случай 1: $y = 3$

$\frac{x-4}{\sqrt{x}} = 3 \implies x - 4 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} - 4 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sqrt{x}$. Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 3z - 4 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 4$ и $z_2 = -1$. Так как $z = \sqrt{x}$ должен быть положительным, корень $z_2 = -1$ не подходит.

Итак, $z = 4 \implies \sqrt{x} = 4 \implies x = 16$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -1/3$

$\frac{x-4}{\sqrt{x}} = -\frac{1}{3} \implies 3(x-4) = -\sqrt{x} \implies 3x - 12 = -\sqrt{x} \implies 3x + \sqrt{x} - 12 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$3z^2 + z - 12 = 0$

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 1 + 144 = 145$

$z = \frac{-1 \pm \sqrt{145}}{6}$. Так как $z > 0$, подходит только корень $z = \frac{-1 + \sqrt{145}}{6}$.

$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{145}-1}{6} \implies x = \left( \frac{\sqrt{145}-1}{6} \right)^2 = \frac{145 - 2\sqrt{145} + 1}{36} = \frac{146 - 2\sqrt{145}}{36} = \frac{73 - \sqrt{145}}{18}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $16; \frac{73 - \sqrt{145}}{18}$.

2) $ \frac{x-2}{\sqrt{x}} - \frac{6\sqrt{x}}{x-2} = 1 $

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 2$.

Пусть $y = \frac{x-2}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{6\sqrt{x}}{x-2} = \frac{6}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y - \frac{6}{y} = 1$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 6 = y \implies y^2 - y - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 3$

$\frac{x-2}{\sqrt{x}} = 3 \implies x - 2 = 3\sqrt{x} \implies x - 3\sqrt{x} - 2 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 3z - 2 = 0$

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$

$z = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$. Так как $z>0$, подходит $z = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

$\sqrt{x} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \implies x = \left( \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \right)^2 = \frac{9 + 6\sqrt{17} + 17}{4} = \frac{26 + 6\sqrt{17}}{4} = \frac{13 + 3\sqrt{17}}{2}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y = -2$

$\frac{x-2}{\sqrt{x}} = -2 \implies x - 2 = -2\sqrt{x} \implies x + 2\sqrt{x} - 2 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 + 2z - 2 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$

$z = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Так как $z>0$, подходит $z = -1 + \sqrt{3}$.

$\sqrt{x} = \sqrt{3} - 1 \implies x = (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{13 + 3\sqrt{17}}{2}; 4 - 2\sqrt{3}$.

3) $ \frac{x+3}{\sqrt{x}} - \frac{8\sqrt{x}}{x+3} = 2 $

ОДЗ: $x > 0$ (знаменатель $x+3$ при $x>0$ не равен нулю).

Пусть $y = \frac{x+3}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{8\sqrt{x}}{x+3} = \frac{8}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y - \frac{8}{y} = 2$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 - 8 = 2y \implies y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$

$\frac{x+3}{\sqrt{x}} = 4 \implies x + 3 = 4\sqrt{x} \implies x - 4\sqrt{x} + 3 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 4z + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $z_1 = 1$ и $z_2 = 3$. Оба корня положительны.

Если $z=1$, то $\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

Если $z=3$, то $\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$.

Оба корня, $1$ и $9$, удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $y = -2$

$\frac{x+3}{\sqrt{x}} = -2$. При $x > 0$ левая часть уравнения всегда положительна ($x+3 > 0$ и $\sqrt{x} > 0$), поэтому она не может быть равна $-2$. В этом случае решений нет.

Алгебраически: $x + 3 = -2\sqrt{x} \implies x + 2\sqrt{x} + 3 = 0$. Пусть $z = \sqrt{x}$.

$z^2 + 2z + 3 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

Ответ: $1; 9$.

4) $ \frac{x+5}{\sqrt{x}} + \frac{8\sqrt{x}}{x+5} = 6 $

ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $y = \frac{x+5}{\sqrt{x}}$. Тогда $\frac{8\sqrt{x}}{x+5} = \frac{8}{y}$. Уравнение принимает вид:

$y + \frac{8}{y} = 6$

Домножим на $y$ ($y \neq 0$):

$y^2 + 8 = 6y \implies y^2 - 6y + 8 = 0$

По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 2$

$\frac{x+5}{\sqrt{x}} = 2 \implies x + 5 = 2\sqrt{x} \implies x - 2\sqrt{x} + 5 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 2z + 5 = 0$

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $y = 4$

$\frac{x+5}{\sqrt{x}} = 4 \implies x + 5 = 4\sqrt{x} \implies x - 4\sqrt{x} + 5 = 0$

Пусть $z = \sqrt{x}$, где $z > 0$.

$z^2 - 4z + 5 = 0$

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$. Действительных корней нет.

Так как ни в одном из случаев нет действительных решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

11.23. 1) $\frac{x-2}{x+3} - \frac{6(x+3)}{x-2} = 1;$

2) $\frac{x+2}{x-3} - \frac{2(x-3)}{x+2} = 1;$

3) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{3(x+2)}{x-1} = 4;$

4) $\frac{x-3,4}{x+3} - \frac{8(x+3)}{x-3,4} = 2.$

1) $\frac{x-2}{x+3} - \frac{6(x+3)}{x-2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-2}{x+3}$. Тогда $\frac{x+3}{x-2} = \frac{1}{y}$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y - \frac{6}{y} = 1$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$y^2 - 6 = y$

$y^2 - y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $y$ с помощью теоремы Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -6$

Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

Случай 1: $y_1 = 3$

$\frac{x-2}{x+3} = 3$

$x - 2 = 3(x + 3)$

$x - 2 = 3x + 9$

$2x = -11$

$x_1 = -5,5$

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -2$

$\frac{x-2}{x+3} = -2$

$x - 2 = -2(x + 3)$

$x - 2 = -2x - 6$

$3x = -4$

$x_2 = -\frac{4}{3}$

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-5,5; -\frac{4}{3}$.

2) $\frac{x+2}{x-3} - \frac{2(x-3)}{x+2} = 1$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x+2}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+2} = \frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y - \frac{2}{y} = 1$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 - 2 = y$

$y^2 - y - 2 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 1$

$y_1 \cdot y_2 = -2$

Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 2$

$\frac{x+2}{x-3} = 2$

$x + 2 = 2(x - 3)$

$x + 2 = 2x - 6$

$x_1 = 8$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -1$

$\frac{x+2}{x-3} = -1$

$x + 2 = -(x - 3)$

$x + 2 = -x + 3$

$2x = 1$

$x_2 = 0,5$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $8; 0,5$.

3) $\frac{x-1}{x+2} + \frac{3(x+2)}{x-1} = 4$

ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+2}$. Тогда $\frac{x+2}{x-1} = \frac{1}{y}$.

Подставим в уравнение:

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 + 3 = 4y$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 4$

$y_1 \cdot y_2 = 3$

Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 1$

$\frac{x-1}{x+2} = 1$

$x - 1 = x + 2$

$-1 = 2$

Получено неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $y_2 = 3$

$\frac{x-1}{x+2} = 3$

$x - 1 = 3(x + 2)$

$x - 1 = 3x + 6$

$2x = -7$

$x = -3,5$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-3,5$.

4) $\frac{x-3,4}{x+3} - \frac{8(x+3)}{x-3,4} = 2$

ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$ и $x-3,4 \neq 0 \implies x \neq 3,4$.

Введем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-3,4}{x+3}$. Тогда $\frac{x+3}{x-3,4} = \frac{1}{y}$.

Уравнение примет вид:

$y - \frac{8}{y} = 2$

Умножим на $y \neq 0$:

$y^2 - 8 = 2y$

$y^2 - 2y - 8 = 0$

По теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 2$

$y_1 \cdot y_2 = -8$

Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 4$

$\frac{x-3,4}{x+3} = 4$

$x - 3,4 = 4(x + 3)$

$x - 3,4 = 4x + 12$

$3x = -15,4$

$x_1 = -\frac{15,4}{3} = -\frac{154}{30} = -\frac{77}{15}$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $y_2 = -2$

$\frac{x-3,4}{x+3} = -2$

$x - 3,4 = -2(x + 3)$

$x - 3,4 = -2x - 6$

$3x = -6 + 3,4$

$3x = -2,6$

$x_2 = -\frac{2,6}{3} = -\frac{26}{30} = -\frac{13}{15}$

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $-\frac{77}{15}; -\frac{13}{15}$.

11.24. 1) $\sqrt{\frac{x+5}{x}} + \sqrt{\frac{x}{x+5}} = 2;$

2) $\sqrt{\frac{x+4}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{x+4}} = 6;$

3) $\sqrt{\frac{x-3}{2x}} + 10 = -25\sqrt{\frac{2x}{x-3}}.$

1)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+5}{x}} + \sqrt{\frac{x}{x+5}} = 2$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю. Следовательно, оба подкоренных выражения должны быть строго положительными:$\frac{x+5}{x} > 0$ и $\frac{x}{x+5} > 0$.Эти два неравенства равносильны. Решим первое из них методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = -5$ и $x = 0$. Они разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, -5)$, $(-5, 0)$ и $(0, \infty)$.Проверяя знак дроби в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -5) \cup (0, \infty)$. Это и есть ОДЗ.
Введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{\frac{x+5}{x}}$.Поскольку арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, и в нашей ОДЗ подкоренное выражение строго положительно, то $y > 0$.
Тогда второй член уравнения можно выразить через $y$: $\sqrt{\frac{x}{x+5}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{x+5}{x}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x+5}{x}}} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:$y + \frac{1}{y} = 2$.
Умножим обе части уравнения на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$):$y^2 + 1 = 2y$
$y^2 - 2y + 1 = 0$
$(y-1)^2 = 0$
Отсюда $y = 1$.
Полученное значение $y=1$ удовлетворяет условию $y > 0$.
Теперь выполним обратную замену:$\sqrt{\frac{x+5}{x}} = 1$
Возведем обе части в квадрат:$\frac{x+5}{x} = 1$
$x+5 = x$
$5 = 0$
Мы получили неверное равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x+4}{x}} + 9\sqrt{\frac{x}{x+4}} = 6$.
Найдем ОДЗ. Аналогично предыдущему пункту, подкоренные выражения должны быть строго положительными:$\frac{x+4}{x} > 0$.
Решая это неравенство методом интервалов (корни $x=-4$ и $x=0$), получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, \infty)$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x+4}{x}}$. Учитывая ОДЗ, имеем $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{x}{x+4}} = \frac{1}{y}$.
Подставим замену в уравнение:$y + 9 \cdot \frac{1}{y} = 6$
$y + \frac{9}{y} = 6$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):$y^2 + 9 = 6y$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это формула квадрата разности: $(y-3)^2 = 0$.
Отсюда $y = 3$.
Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Выполним обратную замену:$\sqrt{\frac{x+4}{x}} = 3$
Возведем обе части в квадрат:$\frac{x+4}{x} = 3^2$
$\frac{x+4}{x} = 9$
$x+4 = 9x$
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Проверим, входит ли найденное значение в ОДЗ. $x = \frac{1}{2}$ принадлежит интервалу $(0, \infty)$, следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3)

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{x-3}{2x}} + 10 = -25\sqrt{\frac{2x}{x-3}}$.
Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть строго положительными:$\frac{x-3}{2x} > 0$.
Решая неравенство методом интервалов (корни $x=3$ и $x=0$), получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.
Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-3}{2x}}$. Из определения корня и ОДЗ следует, что $y > 0$.
Тогда $\sqrt{\frac{2x}{x-3}} = \frac{1}{y}$.
Подставим замену в исходное уравнение:$y + 10 = -25 \cdot \frac{1}{y}$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):$y(y + 10) = -25$
$y^2 + 10y = -25$
$y^2 + 10y + 25 = 0$
Это формула квадрата суммы: $(y+5)^2 = 0$.
Отсюда $y+5 = 0$, то есть $y = -5$.
Полученное значение $y = -5$ противоречит условию замены $y > 0$. Следовательно, уравнение для $y$ не имеет решений, удовлетворяющих этому условию, а значит, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

11.25. Решите уравнение, содержащее переменную под знаком модуля:

1) $ (\frac{x+|x|}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0; $

2) $ (\frac{x-|x|}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0. $

1) Решим уравнение $(\frac{x+|x|}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x+1 \ne 0$, что означает $x \ne -1$.

Для того чтобы избавиться от знака модуля, рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Подставим это в уравнение:

$(\frac{x+x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{2x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно выражения $\frac{2x}{x+1}$. Сделаем замену: пусть $t = \frac{2x}{x+1}$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня.

а) Если $t = 2$, то $\frac{2x}{x+1} = 2$.

$2x = 2(x+1)$

$2x = 2x + 2$

$0 = 2$

Получено неверное равенство, значит, в этом случае решений нет.

б) Если $t = -3$, то $\frac{2x}{x+1} = -3$.

$2x = -3(x+1)$

$2x = -3x - 3$

$5x = -3$

$x = -\frac{3}{5}$

Этот корень не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он не является решением исходного уравнения.

В первом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Подставим это в уравнение:

$(\frac{x-x}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{0}{x+1})^2 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$0 + \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$\frac{2x}{x+1} = 6$

$2x = 6(x+1)$

$2x = 6x + 6$

$-4x = 6$

$x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям. $x = -\frac{3}{2} < 0$ и $x = -\frac{3}{2} \ne -1$. Оба условия выполнены.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

2) Решим уравнение $(\frac{x-|x|}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$.

ОДЗ: $x+1 \ne 0$, то есть $x \ne -1$.

Снова рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$

В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$(\frac{x-x}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{0}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$0 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$-\frac{2x}{x+1} = 6$

$-2x = 6(x+1)$

$-2x = 6x + 6$

$-8x = 6$

$x = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

Найденный корень $x = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, поэтому он не является решением.

В первом случае решений нет.

Случай 2: $x < 0$

В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$(\frac{x-(-x)}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

$(\frac{2x}{x+1})^2 - \frac{2x}{x+1} - 6 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = \frac{2x}{x+1}$.

$t^2 - t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену.

а) Если $t = 3$, то $\frac{2x}{x+1} = 3$.

$2x = 3(x+1)$

$2x = 3x + 3$

$-x = 3$

$x = -3$

Проверяем корень: $x = -3 < 0$ и $x = -3 \ne -1$. Условия выполнены, значит, $x=-3$ — корень.

б) Если $t = -2$, то $\frac{2x}{x+1} = -2$.

$2x = -2(x+1)$

$2x = -2x - 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверяем корень: $x = -\frac{1}{2} < 0$ и $x = -\frac{1}{2} \ne -1$. Условия выполнены, значит, $x=-\frac{1}{2}$ — тоже корень.

Таким образом, уравнение имеет два решения.

Ответ: $-3$; $-\frac{1}{2}$.

11.26. 1) Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$, где $f(x) = \frac{x+1}{x^2}$.

2) Решите уравнение $f(x) = f\left(\frac{1}{x}\right)$, где $f(x) = \frac{2x-3}{3x}$.

3) Решите уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где:

а) $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$; б) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

1)

Дано уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$, где функция $f(x)$ определена как $f(x) = \frac{x+1}{x^2}$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Аргумент функции $x$ не может быть равен нулю, так как знаменатель $x^2$ обращается в ноль. Также аргумент $\frac{1}{x}$ требует, чтобы $x \neq 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Теперь найдем выражение для $f(\frac{1}{x})$, подставив $\frac{1}{x}$ вместо $x$ в формулу функции:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\frac{1}{x} + 1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1}{x^2}}$.

Упростим полученное выражение:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1+x}{x} \cdot x^2 = (x+1)x = x^2+x$.

Приравняем $f(x)$ и $f(\frac{1}{x})$ согласно условию задачи:

$\frac{x+1}{x^2} = x^2+x$.

Для решения уравнения перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{x+1}{x^2} - (x^2+x) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки. Заметим, что $x^2+x = x(x+1)$.

$(x+1)\left(\frac{1}{x^2} - x\right) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

Либо $x+1=0$, откуда $x = -1$.

Либо $\frac{1}{x^2} - x = 0$, откуда $\frac{1}{x^2} = x$. Умножив на $x^2$ (что возможно, так как $x \neq 0$), получаем $1 = x^3$, откуда $x = 1$.

Оба найденных значения, $x=-1$ и $x=1$, принадлежат ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

2)

Дано уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$, где $f(x) = \frac{2x-3}{3x}$.

ОДЗ уравнения определяется условиями $x \neq 0$ (из-за знаменателя в $f(x)$) и аргумент $\frac{1}{x}$ должен быть определен, что также требует $x \neq 0$. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.

Найдем $f(\frac{1}{x})$:

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2\left(\frac{1}{x}\right) - 3}{3\left(\frac{1}{x}\right)} = \frac{\frac{2-3x}{x}}{\frac{3}{x}}$.

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $x$ (при $x \neq 0$):

$f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{2-3x}{3}$.

Составим и решим уравнение $f(x) = f(\frac{1}{x})$:

$\frac{2x-3}{3x} = \frac{2-3x}{3}$.

Умножим обе части уравнения на $3x$, чтобы избавиться от знаменателей (это допустимо, так как $x \neq 0$):

$2x-3 = x(2-3x)$.

$2x-3 = 2x-3x^2$.

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$3x^2 = 3$.

$x^2 = 1$.

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 1.

3) а)

Дано уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

ОДЗ: знаменатель $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$. Также знаменатель в $f(-|x|)$ не должен быть равен нулю: $-|x|-1 \neq 0$, что эквивалентно $|x| \neq -1$. Это условие выполняется для любого действительного $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$.

Найдем выражение для правой части уравнения $-f(-|x|)$.

Сначала найдем $f(-|x|)$:

$f(-|x|) = \frac{-|x|+1}{-|x|-1} = \frac{1-|x|}{-(1+|x|)} = -\frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Тогда $-f(-|x|)$ равно:

$-f(-|x|) = -\left(-\frac{1-|x|}{1+|x|}\right) = \frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-|x|}{1+|x|}$.

Для решения этого уравнения с модулем рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид (с учетом ОДЗ $x \neq 1$):

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-x}{1+x}$.

Используем перекрестное умножение:

$(x+1)(x+1) = (x-1)(1-x)$.

$(x+1)^2 = -(x-1)(x-1) = -(x-1)^2$.

$x^2+2x+1 = -(x^2-2x+1)$.

$x^2+2x+1 = -x^2+2x-1$.

$2x^2+2=0$.

$x^2+1=0 \implies x^2=-1$.

В этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$\frac{x+1}{x-1} = \frac{1-(-x)}{1+(-x)} = \frac{1+x}{1-x}$.

Перепишем уравнение как:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+1}{1-x} = 0$.

Так как $1-x = -(x-1)$, то:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{x+1}{-(x-1)} = 0 \implies \frac{x+1}{x-1} + \frac{x+1}{x-1} = 0$.

$2\frac{x+1}{x-1} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x-1 \neq 0$ при $x<0$.

$x+1=0 \implies x=-1$.

Корень $x=-1$ удовлетворяет условию $x < 0$ и ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: -1.

3) б)

Дано уравнение $f(x) = -f(-|x|)$, где $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$.

ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$. В выражении $f(-|x|)$ знаменатель $-|x|-1 \neq 0$, что верно для всех $x$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 1$.

Найдем правую часть уравнения $-f(-|x|)$.

$f(-|x|) = \frac{(-|x|)^2}{-|x|-1} = \frac{|x|^2}{-(|x|+1)} = \frac{x^2}{-(|x|+1)}$.

Тогда $-f(-|x|)$ равно:

$-f(-|x|) = -\left(\frac{x^2}{-(|x|+1)}\right) = \frac{x^2}{|x|+1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2}{|x|+1}$.

Сразу проверим, является ли $x=0$ корнем. Подстановка дает $\frac{0}{-1} = \frac{0}{1}$, то есть $0=0$. Следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь рассмотрим случай, когда $x \neq 0$. В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $x^2$:

$\frac{1}{x-1} = \frac{1}{|x|+1}$.

Отсюда следует, что знаменатели должны быть равны:

$x-1 = |x|+1$.

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

Случай 1: $x > 0$. (Случай $x=0$ уже рассмотрен)

При $x > 0$, $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = x+1$.

$-1 = 1$.

Это неверное равенство, следовательно, при $x>0$ корней нет.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$x-1 = -x+1$.

$2x = 2$.

$x = 1$.

Этот корень не удовлетворяет условию $x < 0$, поэтому в этом случае также нет корней.

Единственным найденным корнем является $x=0$, который удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 1$).

Ответ: 0.