Страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.45. Разложите на множители многочлен:

1) $x^3 - 2x^2 - 8x;$

2) $x^3 - 1 - 2x^2 + 2x;$

3) $x^3 - 2x^2 + 4x - 8;$

4) $x^4 - x^2 + 20x - 100.$

1) $x^3 - 2x^2 - 8x$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^3 - 2x^2 - 8x = x(x^2 - 2x - 8)$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 2x - 8$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -8. Корнями являются числа 4 и -2.

Следовательно, разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$

Таким образом, полное разложение исходного многочлена:

$x(x - 4)(x + 2)$

Ответ: $x(x - 4)(x + 2)$

2) $x^3 - 1 - 2x^2 + 2x$

Сгруппируем слагаемые для применения метода группировки. Переставим члены многочлена:

$(x^3 - 1) + (-2x^2 + 2x)$

Разложим первую группу $(x^3 - 1)$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Во второй группе $(-2x^2 + 2x)$ вынесем общий множитель $-2x$:

$-2x^2 + 2x = -2x(x - 1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$(x - 1)(x^2 + x + 1) - 2x(x - 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:

$(x - 1)((x^2 + x + 1) - 2x)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 1)(x^2 + x + 1 - 2x) = (x - 1)(x^2 - x + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x^2 - x + 1)$

3) $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$

Применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(x^3 - 2x^2) + (4x - 8)$

Из первой группы вынесем общий множитель $x^2$:

$x^2(x - 2)$

Из второй группы вынесем общий множитель 4:

$4(x - 2)$

Теперь выражение выглядит так:

$x^2(x - 2) + 4(x - 2)$

Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x^2 + 4)$

Ответ: $(x - 2)(x^2 + 4)$

4) $x^4 - x^2 + 20x - 100$

Выделим в выражении полный квадрат. Для этого сгруппируем последние три слагаемых и вынесем минус за скобку:

$x^4 - (x^2 - 20x + 100)$

Выражение в скобках $x^2 - 20x + 100$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, где $a=x$ и $b=10$:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x - 10)^2$

Подставим полученный квадрат в исходное выражение:

$x^4 - (x - 10)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = (x - 10)$:

$(x^2 - (x - 10))(x^2 + (x - 10))$

Раскроем внутренние скобки:

$(x^2 - x + 10)(x^2 + x - 10)$

Ответ: $(x^2 - x + 10)(x^2 + x - 10)$

10.46. Для каких значений параметра $a$ имеет действительные корни уравнение:

1) $ax^2 - 4x + 3 = 0;$

2) $ax^2 - 2x - 8 = 0;$

3) $x^2 - 4x + 3a = 0;$

4) $x^2 - 4x + 12a = 0?$

1) $ax^2 - 4x + 3 = 0$

Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.
Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.
Найдем дискриминант для уравнения $ax^2 - 4x + 3 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 16 - 12a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 12a \ge 0$
$16 \ge 12a$
$a \le \frac{16}{12}$
$a \le \frac{4}{3}$.
С учетом условия $a \neq 0$, получаем, что в этом случае $a \in (-\infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}]$.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $a = 0$.
Подставим $a=0$ в исходное уравнение:
$0 \cdot x^2 - 4x + 3 = 0$
$-4x + 3 = 0$
$-4x = -3$
$x = \frac{3}{4}$.
Уравнение имеет один действительный корень, что удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $a=0$ является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет действительные корни при $a \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{4}{3}]$

2) $ax^2 - 2x - 8 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $a \neq 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot (-8) = 4 + 32a$.
Условие наличия действительных корней: $D \ge 0$.
$4 + 32a \ge 0$
$32a \ge -4$
$a \ge -\frac{4}{32}$
$a \ge -\frac{1}{8}$.
С учетом $a \neq 0$, получаем $a \in [-\frac{1}{8}, 0) \cup (0, +\infty)$.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть $a = 0$.
При $a=0$ уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^2 - 2x - 8 = 0$
$-2x - 8 = 0$
$-2x = 8$
$x = -4$.
Уравнение имеет один действительный корень, поэтому $a=0$ является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что уравнение имеет действительные корни при $a \ge -\frac{1}{8}$.

Ответ: $a \in [-\frac{1}{8}, +\infty)$

3) $x^2 - 4x + 3a = 0$

Это уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (не равен нулю).
Уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a) = 16 - 12a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 12a \ge 0$
$16 \ge 12a$
$a \le \frac{16}{12}$
$a \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{4}{3}]$

4) $x^2 - 4x + 12a = 0$

Данное уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ равен 1).
Для наличия действительных корней дискриминант $D$ должен быть неотрицательным.
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (12a) = 16 - 48a$.
Решим неравенство $D \ge 0$:
$16 - 48a \ge 0$
$16 \ge 48a$
$a \le \frac{16}{48}$
$a \le \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{1}{3}]$

10.47. Решите уравнение $y - x - 4 = 0$, если $y = 2x + 1$.

Для решения данной задачи необходимо решить систему из двух линейных уравнений. Первое уравнение дано в условии: $y - x - 4 = 0$. Второе условие задает зависимость $y$ от $x$: $y = 2x + 1$.
Мы можем использовать метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$(2x + 1) - x - 4 = 0$
Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Сначала упростим его, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:
$2x - x + 1 - 4 = 0$
$x - 3 = 0$
Перенесем число -3 в правую часть уравнения, изменив его знак:
$x = 3$
Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем найти значение $y$. Для этого подставим $x = 3$ в любое из исходных уравнений. Удобнее всего использовать второе уравнение $y = 2x + 1$:
$y = 2 \cdot (3) + 1$
$y = 6 + 1$
$y = 7$
Таким образом, решением является пара чисел: $x = 3$ и $y = 7$.
Ответ: $x=3, y=7$.

10.48. Дано уравнение $2y^2 - 5y + 3 = 0$. Составьте новое уравнение, где:

$y = x$

$y = x^2$

$y = x^2 - 2x$

$y = \sqrt{2}$

$y = x + 2$

Дано исходное уравнение $2y^2 - 5y + 3 = 0$. Чтобы составить новые уравнения, мы последовательно подставим в него предложенные выражения для $y$.

y = x

Подставляем $y = x$ в исходное уравнение:

$2(x)^2 - 5(x) + 3 = 0$

Упрощаем и получаем новое уравнение:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Ответ: $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

y = x²

Подставляем $y = x^2$ в исходное уравнение:

$2(x^2)^2 - 5(x^2) + 3 = 0$

Упрощаем и получаем новое (биквадратное) уравнение:

$2x^4 - 5x^2 + 3 = 0$

Ответ: $2x^4 - 5x^2 + 3 = 0$.

y = x² - 2x

Подставляем $y = x^2 - 2x$ в исходное уравнение:

$2(x^2 - 2x)^2 - 5(x^2 - 2x) + 3 = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат: $(x^2 - 2x)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2$.

Подставим обратно в уравнение:

$2(x^4 - 4x^3 + 4x^2) - 5(x^2 - 2x) + 3 = 0$

$2x^4 - 8x^3 + 8x^2 - 5x^2 + 10x + 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^4 - 8x^3 + (8-5)x^2 + 10x + 3 = 0$

$2x^4 - 8x^3 + 3x^2 + 10x + 3 = 0$

Ответ: $2x^4 - 8x^3 + 3x^2 + 10x + 3 = 0$.

y = √2

Подставляем $y = \sqrt{2}$ в исходное уравнение:

$2(\sqrt{2})^2 - 5(\sqrt{2}) + 3 = 0$

Упрощаем выражение:

$2 \cdot 2 - 5\sqrt{2} + 3 = 0$

$4 - 5\sqrt{2} + 3 = 0$

$7 - 5\sqrt{2} = 0$

В данном случае новое "уравнение" не содержит переменной и является числовым равенством (которое, к слову, неверно, так как $7 \neq 5\sqrt{2}$).

Ответ: $7 - 5\sqrt{2} = 0$.

y = x + 2

Подставляем $y = x + 2$ в исходное уравнение:

$2(x + 2)^2 - 5(x + 2) + 3 = 0$

Раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$.

Подставим обратно в уравнение:

$2(x^2 + 4x + 4) - 5(x + 2) + 3 = 0$

$2x^2 + 8x + 8 - 5x - 10 + 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$2x^2 + (8x - 5x) + (8 - 10 + 3) = 0$

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Ответ: $2x^2 + 3x + 1 = 0$.