Страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.37. 1) $ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}; $

2) $ \frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}. $

1) Решим уравнение $ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1} $.

Сначала разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратных трехчленов.

Для $x^2 - 9x + 14 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Перепишем уравнение в новом виде:
$ \frac{2x - 7}{(x - 2)(x - 7)} - \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x - 1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 2)(x - 7)$:

$ \frac{(2x - 7)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} - \frac{1(x - 7)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} = \frac{1(x - 2)(x - 7)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} $

Так как мы учли ОДЗ, можем отбросить знаменатели и работать с числителями:

$ (2x - 7)(x - 1) - (x - 7) = (x - 2)(x - 7) $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ (2x^2 - 2x - 7x + 7) - x + 7 = x^2 - 7x - 2x + 14 $

$ 2x^2 - 9x + 7 - x + 7 = x^2 - 9x + 14 $

$ 2x^2 - 10x + 14 = x^2 - 9x + 14 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ 2x^2 - x^2 - 10x + 9x + 14 - 14 = 0 $

$ x^2 - x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(x - 1) = 0 $

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 2, x \neq 7$).

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является $x = 0$.

Ответ: $0$.

2) Решим уравнение $ \frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3} $.

Разложим знаменатели на множители.

Для $x^2 + 5x - 6 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$.

Для $x^2 + 9x + 18 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$.

Перепишем уравнение в новом виде:
$ \frac{2x + 7}{(x - 1)(x + 6)} + \frac{3}{(x + 3)(x + 6)} = \frac{1}{x + 3} $

Область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 6)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ (2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = 1(x - 1)(x + 6) $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ (2x^2 + 6x + 7x + 21) + (3x - 3) = x^2 + 6x - x - 6 $

$ 2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6 $

$ 2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2x^2 - x^2 + 16x - 5x + 18 + 6 = 0 $

$ x^2 + 11x + 24 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение равно 24. Это корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -6, x \neq -3$).

Корень $x = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Следовательно, решением уравнения является $x = -8$.

Ответ: $-8$.

10.38. 1)

$\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^2 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1};$

2)

$\frac{x - 1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x + 2}{x^3 + 3x^2 - x - 3}.$

1)Исходное уравнение:$ \frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^2 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1} $
Разложим знаменатели на множители.
$ D_1 = 4x^2 + 1 $
$ D_2 = 16x^2 - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $
$ D_3 = 8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1) $
Приведение к общему знаменателю в исходном виде приводит к очень громоздкому уравнению четвертой степени, которое не имеет простых рациональных корней. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка во втором знаменателе, и вместо $16x^2-1$ должно быть $16x^4-1$. В этом случае задача имеет стандартное решение.
Предположим, что уравнение имеет вид:$ \frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1} $
Разложим на множители новый второй знаменатель:
$ 16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) $
Знаменатели в предполагаемом уравнении:
$ D_1 = 4x^2 + 1 $
$ D_2 = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) $
$ D_3 = (4x^2 + 1)(2x + 1) $
Общий знаменатель (ОЗ) для этого случая: $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) \neq 0 $, откуда $ x \neq \frac{1}{2} $ и $ x \neq -\frac{1}{2} $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$ 25(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1) $
Раскроем скобки и упростим:
$ 25(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5 $
$ 100x^2 - 25 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5 $
$ 100x^2 - 8x - 54 = 36x^2 - 8x - 5 $
Сократим $ -8x $ с обеих сторон:
$ 100x^2 - 54 = 36x^2 - 5 $
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$ 100x^2 - 36x^2 = 54 - 5 $
$ 64x^2 = 49 $
$ x^2 = \frac{49}{64} $
$ x = \pm\sqrt{\frac{49}{64}} $
$ x_1 = \frac{7}{8}, x_2 = -\frac{7}{8} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm\frac{7}{8}$.

2)Исходное уравнение:$ \frac{x - 1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x + 2}{x^3 + 3x^2 - x - 3} $
Разложим знаменатели на множители, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.
$ D_1 = x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x + 3) + 1(x + 3) = (x^2 + 1)(x + 3) $
$ D_2 = x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) $
$ D_3 = x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x + 3) - 1(x + 3) = (x^2 - 1)(x + 3) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) $
Общий знаменатель (ОЗ): $(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x^2 + 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$ (x - 1)(x - 1)(x + 1) + 1(x + 3) = (x + 2)(x^2 + 1) $
$ (x-1)^2(x+1) + x + 3 = (x+2)(x^2+1) $
Раскроем скобки.
Левая часть:
$ (x^2 - 2x + 1)(x+1) + x + 3 = (x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1) + x + 3 = x^3 - x^2 - x + 1 + x + 3 = x^3 - x^2 + 4 $
Правая часть:
$ x^3 + x + 2x^2 + 2 = x^3 + 2x^2 + x + 2 $
Приравняем левую и правую части:
$ x^3 - x^2 + 4 = x^3 + 2x^2 + x + 2 $
Сократим $x^3$ с обеих сторон и перенесем все члены в одну часть:
$ -x^2 + 4 = 2x^2 + x + 2 $
$ 0 = 2x^2 + x + 2 + x^2 - 4 $
$ 3x^2 + x - 2 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 $
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 $).
Корень $ x_1 = \frac{2}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении x знаменатели $D_2$ и $D_3$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_2=-1$ является посторонним корнем.
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

10.39. 1)

$\frac{19 - 2x}{x^2 + 5x + 4} - \frac{2x + 9}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x}{x^2 + 6x + 8};$

2) $\frac{2x}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{3(x^2 - 4x + 3)} = \frac{5}{3(x^2 - x - 6)}.$

1) $\frac{19 - 2x}{x^2 + 5x + 4} - \frac{2x + 9}{x^2 + 3x + 2} = \frac{4x}{x^2 + 6x + 8}$
Разложим знаменатели дробей на множители. Для этого решим соответствующие квадратные уравнения.
1. $x^2 + 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$.
2. $x^2 + 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Значит, $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$.
3. $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$.
Перепишем уравнение в новом виде:
$\frac{19 - 2x}{(x+1)(x+4)} - \frac{2x + 9}{(x+1)(x+2)} = \frac{4x}{(x+2)(x+4)}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq -1$, $x \neq -2$, $x \neq -4$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+2)(x+4)$:
$\frac{(19 - 2x)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+4)} - \frac{(2x + 9)(x+4)}{(x+1)(x+2)(x+4)} = \frac{4x(x+1)}{(x+1)(x+2)(x+4)}$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, при условии что $x$ входит в ОДЗ:
$(19 - 2x)(x+2) - (2x + 9)(x+4) = 4x(x+1)$
Раскроем скобки:
$(19x + 38 - 2x^2 - 4x) - (2x^2 + 8x + 9x + 36) = 4x^2 + 4x$
$(-2x^2 + 15x + 38) - (2x^2 + 17x + 36) = 4x^2 + 4x$
$-2x^2 + 15x + 38 - 2x^2 - 17x - 36 = 4x^2 + 4x$
Приведем подобные слагаемые:
$-4x^2 - 2x + 2 = 4x^2 + 4x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$8x^2 + 6x - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$4x^2 + 3x - 1 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$
$x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) $\frac{2x}{x^2 + x - 2} + \frac{2}{3(x^2 - 4x + 3)} = \frac{5}{3(x^2 - x - 6)}$
Разложим на множители квадратные трехчлены в знаменателях.
1. $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.
2. $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
3. $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.
Подставим разложения в исходное уравнение:
$\frac{2x}{(x+2)(x-1)} + \frac{2}{3(x-1)(x-3)} = \frac{5}{3(x-3)(x+2)}$
ОДЗ: $x \neq -2$, $x \neq 1$, $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $3(x-1)(x+2)(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:
$2x \cdot 3(x-3) + 2 \cdot (x+2) = 5 \cdot (x-1)$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$6x(x-3) + 2x + 4 = 5x - 5$
$6x^2 - 18x + 2x + 4 = 5x - 5$
$6x^2 - 16x + 4 = 5x - 5$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$6x^2 - 16x - 5x + 4 + 5 = 0$
$6x^2 - 21x + 9 = 0$
Разделим все уравнение на 3 для упрощения:
$2x^2 - 7x + 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
Проверим корни по ОДЗ. Корень $x_2 = 3$ не входит в ОДЗ, является посторонним.
Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

10.40. 1) $ \frac{1 - 9x}{x^2 + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x} = \frac{2x}{x + 3} $;

2) $ \frac{3(2x^2 - x - 1)}{x^2 + x - 6} = 1 + \frac{4x}{x + 3} $.

1) $\frac{1 - 9x}{x^2 + 2x - 3} - \frac{3x - 1}{1 - x} = \frac{2x}{x + 3}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

Разложим знаменатель первой дроби на множители: $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$.

Условия для знаменателей:

$x^2 + 2x - 3 \neq 0 \implies (x - 1)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -3$.

$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$.

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.

Преобразуем уравнение, учитывая разложение знаменателя и изменив знак во второй дроби:

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} - \frac{3x - 1}{-(x - 1)} = \frac{2x}{x + 3}$

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{3x - 1}{x - 1} = \frac{2x}{x + 3}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x + 3)$:

$\frac{1 - 9x}{(x - 1)(x + 3)} + \frac{(3x - 1)(x + 3)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)}$

Так как $x$ не равен $1$ и $-3$, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от него:

$1 - 9x + (3x - 1)(x + 3) = 2x(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$1 - 9x + 3x^2 + 9x - x - 3 = 2x^2 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - x - 2 = 2x^2 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$3x^2 - 2x^2 - x + 2x - 2 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 1$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

2) $\frac{3(2x^2 - x - 1)}{x^2 + x - 6} = 1 + \frac{4x}{x + 3}$

Найдем ОДЗ. Разложим знаменатель левой части на множители: $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$.

Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x^2 + x - 6 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -3$.

$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$.

ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq -3$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\frac{3(2x^2 - x - 1)}{(x - 2)(x + 3)} - 1 - \frac{4x}{x + 3} = 0$

Приведем все к общему знаменателю $(x - 2)(x + 3)$:

$\frac{3(2x^2 - x - 1)}{(x - 2)(x + 3)} - \frac{(x - 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 3)} - \frac{4x(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = 0$

Запишем все под одной дробной чертой:

$\frac{3(2x^2 - x - 1) - (x^2 + x - 6) - 4x(x - 2)}{(x - 2)(x + 3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ). Решим уравнение для числителя:

$3(2x^2 - x - 1) - (x^2 + x - 6) - 4x(x - 2) = 0$

Раскроем скобки:

$6x^2 - 3x - 3 - x^2 - x + 6 - 4x^2 + 8x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x^2 - x^2 - 4x^2) + (-3x - x + 8x) + (-3 + 6) = 0$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -4$

$x_1 \cdot x_2 = 3$

Корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: -1.

10.41. Решите уравнение с параметром:

1) $\frac{x^2 + (3 - a)x - 3a}{x^2 - x - 12} = 0;$

2) $\frac{x^2 - (a + 1)x + 2a - 2}{3x^2 - 7x + 2} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b}{x^2 - 7x + 6} = 0;$

4) $\frac{x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b}{2x^2 + 3x - 5} = 0.$

1)

Исходное уравнение $\frac{x^2 + (3 - a)x - 3a}{x^2 - x - 12} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + (3 - a)x - 3a = 0, \\ x^2 - x - 12 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя, решив уравнение $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется условиями $x \neq 4$ и $x \neq -3$.

Теперь решим уравнение числителя: $x^2 + (3 - a)x - 3a = 0$. По теореме Виета (или разложением на множители $(x-a)(x+3)=0$) находим его корни: $x_1 = a$ и $x_2 = -3$.

Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = -3$ не входит в ОДЗ, поэтому он не может быть решением исходного уравнения ни при каких значениях параметра $a$.

Второй корень $x = a$ будет решением уравнения, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть $a \neq 4$ и $a \neq -3$.

Проанализируем различные значения параметра $a$:

1. Если $a = 4$, то корень $x=a$ совпадает с недопустимым значением $x=4$. В этом случае у уравнения нет решений.

2. Если $a = -3$, то оба корня числителя совпадают и равны $-3$, что является недопустимым значением. В этом случае у уравнения также нет решений.

3. Если $a \neq 4$ и $a \neq -3$, то корень $x = a$ является единственным решением уравнения.

Ответ: при $a \in \{-3, 4\}$ решений нет; при $a \notin \{-3, 4\}$, $x=a$.

2)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (a + 1)x + 2a - 2}{3x^2 - 7x + 2} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 1)x + 2a - 2 = 0, \\ 3x^2 - 7x + 2 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя: $3x^2 - 7x + 2 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Корни $x_1 = \frac{7-5}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{7+5}{6} = 2$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq \frac{1}{3}$ и $x \neq 2$.

Решим уравнение числителя: $x^2 - (a + 1)x + 2a - 2 = 0$. Можно разложить на множители: $x^2 - ax - x + 2a - 2 = (x^2 - x - 2) - a(x - 2) = (x-2)(x+1) - a(x-2) = (x-2)(x+1-a) = 0$. Корни числителя: $x_1 = 2$ и $x_2 = a - 1$.

Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, поэтому он не является решением исходного уравнения ни при каких значениях $a$.

Второй корень $x = a-1$ будет решением, если он удовлетворяет ОДЗ: $a-1 \neq \frac{1}{3}$ и $a-1 \neq 2$.

Из $a-1 \neq \frac{1}{3}$ следует $a \neq \frac{4}{3}$.

Из $a-1 \neq 2$ следует $a \neq 3$.

Проанализируем различные значения параметра $a$:

1. Если $a = \frac{4}{3}$, то корень $x=a-1$ совпадает с недопустимым значением $x=\frac{1}{3}$. Решений нет.

2. Если $a = 3$, то корень $x=a-1$ совпадает с недопустимым значением $x=2$. Решений нет.

3. Если $a \neq \frac{4}{3}$ и $a \neq 3$, то единственным решением является $x = a - 1$.

Ответ: при $a \in \{3, \frac{4}{3}\}$ решений нет; при $a \notin \{3, \frac{4}{3}\}$, $x=a-1$.

3)

Исходное уравнение $\frac{x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b}{x^2 - 7x + 6} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b = 0, \\ x^2 - 7x + 6 \neq 0. \end{cases}$

Корни знаменателя из $x^2 - 7x + 6 = 0$ по теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 6$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

Решим уравнение числителя $x^2 - (3b - 1)x + 2b^2 - 2b = 0$. Дискриминант $D = (3b-1)^2 - 4(2b^2-2b) = 9b^2-6b+1 - 8b^2+8b = b^2+2b+1 = (b+1)^2$.

Корни числителя: $x = \frac{3b-1 \pm \sqrt{(b+1)^2}}{2} = \frac{3b-1 \pm (b+1)}{2}$.

$x_1 = \frac{3b-1 + b+1}{2} = \frac{4b}{2} = 2b$.

$x_2 = \frac{3b-1 - (b+1)}{2} = \frac{2b-2}{2} = b-1$.

Корни числителя $x_1=2b$ и $x_2=b-1$ являются решениями, если они не равны 1 или 6.

Проверим, при каких $b$ корни числителя совпадают с корнями знаменателя:

1. $2b = 1 \implies b = 1/2$. При $b=1/2$ второй корень $x = b-1 = -1/2$. Это решение.

2. $2b = 6 \implies b = 3$. При $b=3$ второй корень $x = b-1 = 2$. Это решение.

3. $b-1 = 1 \implies b = 2$. При $b=2$ второй корень $x = 2b = 4$. Это решение.

4. $b-1 = 6 \implies b = 7$. При $b=7$ второй корень $x = 2b = 14$. Это решение.

Также рассмотрим случай, когда корни числителя совпадают: $2b=b-1 \implies b=-1$. При $b=-1$ числитель имеет один корень $x = -2$. Это значение допустимо.

Ответ:

при $b = -1$, $x = -2$;

при $b = 1/2$, $x = -1/2$;

при $b = 2$, $x = 4$;

при $b = 3$, $x = 2$;

при $b = 7$, $x = 14$;

при $b \notin \{-1, 1/2, 2, 3, 7\}$, $x_1=2b, x_2=b-1$.

4)

Исходное уравнение $\frac{x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b}{2x^2 + 3x - 5} = 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b = 0, \\ 2x^2 + 3x - 5 \neq 0. \end{cases}$

Найдем корни знаменателя: $2x^2 + 3x - 5 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9+40=49=7^2$. Корни $x_1 = \frac{-3-7}{4} = -5/2$ и $x_2 = \frac{-3+7}{4} = 1$. ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -5/2$.

Решим уравнение числителя $x^2 + (1 - 4b)x + 3b^2 - b = 0$. Дискриминант $D = (1-4b)^2-4(3b^2-b) = 1-8b+16b^2-12b^2+4b = 4b^2-4b+1 = (2b-1)^2$.

Корни числителя: $x = \frac{-(1-4b) \pm \sqrt{(2b-1)^2}}{2} = \frac{4b-1 \pm (2b-1)}{2}$.

$x_1 = \frac{4b-1 + 2b-1}{2} = \frac{6b-2}{2} = 3b-1$.

$x_2 = \frac{4b-1 - (2b-1)}{2} = \frac{2b}{2} = b$.

Корни числителя $x_1=3b-1$ и $x_2=b$ являются решениями, если они не равны 1 или -5/2.

Проверим, при каких $b$ корни числителя совпадают с корнями знаменателя:

1. $b=1$. Второй корень $x=3b-1=2$. Это решение.

2. $b=-5/2$. Второй корень $x=3b-1 = 3(-5/2)-1 = -17/2$. Это решение.

3. $3b-1=1 \implies 3b=2 \implies b=2/3$. Второй корень $x=b=2/3$. Это решение.

4. $3b-1=-5/2 \implies 3b=-3/2 \implies b=-1/2$. Второй корень $x=b=-1/2$. Это решение.

Случай совпадения корней числителя: $b = 3b-1 \implies 2b=1 \implies b=1/2$. При $b=1/2$ числитель имеет один корень $x=1/2$. Это значение допустимо.

Ответ:

при $b = 1/2$, $x = 1/2$;

при $b = 1$, $x = 2$;

при $b = 2/3$, $x = 2/3$;

при $b = -1/2$, $x = -1/2$;

при $b = -5/2$, $x = -17/2$;

при $b \notin \{1/2, 1, 2/3, -1/2, -5/2\}$, $x_1=b, x_2=3b-1$.

10.42. Между какими последовательными целыми числами находится каждый из корней уравнения:

1) $2x^2 - 13x - 25 = 0;$

2) $3x^2 - 17x - 18 = 0;$

3) $2x^2 - 15x - 23 = 0;$

4) $5x^2 - 11x - 19 = 0?$

Чтобы найти, между какими последовательными целыми числами находится каждый из корней уравнения, мы сначала найдем корни каждого квадратного уравнения по формуле, а затем оценим их значения.

Формула для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ (дискриминант).

1) $2x^2 - 13x - 25 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 169 + 200 = 369$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{369}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm \sqrt{369}}{4}$.

Оценим значение $\sqrt{369}$. Мы знаем, что $19^2 = 361$ и $20^2 = 400$. Следовательно, $19 < \sqrt{369} < 20$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{13 + \sqrt{369}}{4}$:

$\frac{13 + 19}{4} < x_1 < \frac{13 + 20}{4}$

$\frac{32}{4} < x_1 < \frac{33}{4}$

$8 < x_1 < 8.25$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 8 и 9.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{13 - \sqrt{369}}{4}$:

$\frac{13 - 20}{4} < x_2 < \frac{13 - 19}{4}$

$\frac{-7}{4} < x_2 < \frac{-6}{4}$

$-1.75 < x_2 < -1.5$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 8 и 9, второй корень — между -2 и -1.

2) $3x^2 - 17x - 18 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-18) = 289 + 216 = 505$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{17 \pm \sqrt{505}}{6}$.

Оценим значение $\sqrt{505}$. Мы знаем, что $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$. Следовательно, $22 < \sqrt{505} < 23$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{17 + \sqrt{505}}{6}$:

$\frac{17 + 22}{6} < x_1 < \frac{17 + 23}{6}$

$\frac{39}{6} < x_1 < \frac{40}{6}$

$6.5 < x_1 < 6.66...$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 6 и 7.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{17 - \sqrt{505}}{6}$:

$\frac{17 - 23}{6} < x_2 < \frac{17 - 22}{6}$

$\frac{-6}{6} < x_2 < \frac{-5}{6}$

$-1 < x_2 < -0.83...$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -1 и 0.

Ответ: первый корень находится между 6 и 7, второй корень — между -1 и 0.

3) $2x^2 - 15x - 23 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-23) = 225 + 184 = 409$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{409}}{2 \cdot 2} = \frac{15 \pm \sqrt{409}}{4}$.

Оценим значение $\sqrt{409}$. Мы знаем, что $20^2 = 400$ и $21^2 = 441$. Следовательно, $20 < \sqrt{409} < 21$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{15 + \sqrt{409}}{4}$:

$\frac{15 + 20}{4} < x_1 < \frac{15 + 21}{4}$

$\frac{35}{4} < x_1 < \frac{36}{4}$

$8.75 < x_1 < 9$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 8 и 9.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{15 - \sqrt{409}}{4}$:

$\frac{15 - 21}{4} < x_2 < \frac{15 - 20}{4}$

$\frac{-6}{4} < x_2 < \frac{-5}{4}$

$-1.5 < x_2 < -1.25$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 8 и 9, второй корень — между -2 и -1.

4) $5x^2 - 11x - 19 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-19) = 121 + 380 = 501$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{11 \pm \sqrt{501}}{2 \cdot 5} = \frac{11 \pm \sqrt{501}}{10}$.

Оценим значение $\sqrt{501}$. Мы знаем, что $22^2 = 484$ и $23^2 = 529$. Следовательно, $22 < \sqrt{501} < 23$.

Найдем промежуток для первого корня $x_1 = \frac{11 + \sqrt{501}}{10}$:

$\frac{11 + 22}{10} < x_1 < \frac{11 + 23}{10}$

$\frac{33}{10} < x_1 < \frac{34}{10}$

$3.3 < x_1 < 3.4$

Значит, корень $x_1$ находится между числами 3 и 4.

Найдем промежуток для второго корня $x_2 = \frac{11 - \sqrt{501}}{10}$:

$\frac{11 - 23}{10} < x_2 < \frac{11 - 22}{10}$

$\frac{-12}{10} < x_2 < \frac{-11}{10}$

$-1.2 < x_2 < -1.1$

Значит, корень $x_2$ находится между числами -2 и -1.

Ответ: первый корень находится между 3 и 4, второй корень — между -2 и -1.

10.43. Решите квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом:

1) $7x^2 + 2x - 9 = 0;$

2) $5x^2 - 30x - 360 = 0;$

3) $9x^2 - 102x + 289 = 0;$

4) $7x^2 - 102x - 1067 = 0.$

Для решения квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является четным числом, удобно использовать специальную формулу. Если представить $b$ как $2k$ (где $k = b/2$), то формула для корней уравнения упрощается:

$x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Величина $D_1 = k^2 - ac$ называется дискриминантом, деленным на 4 ($D/4$).

1) $7x^2 + 2x - 9 = 0$

В данном уравнении коэффициенты: $a = 7$, $b = 2$, $c = -9$. Второй коэффициент $b=2$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Теперь вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = 1^2 - 7 \cdot (-9) = 1 + 63 = 64$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-1 \pm \sqrt{64}}{7} = \frac{-1 \pm 8}{7}$. $x_1 = \frac{-1 + 8}{7} = \frac{7}{7} = 1$. $x_2 = \frac{-1 - 8}{7} = -\frac{9}{7}$.
Ответ: $1; -\frac{9}{7}$.

2) $5x^2 - 30x - 360 = 0$

Заметим, что все коэффициенты уравнения ($5, -30, -360$) делятся на 5. Упростим уравнение, разделив обе его части на 5: $x^2 - 6x - 72 = 0$. Теперь коэффициенты: $a = 1$, $b = -6$, $c = -72$. Второй коэффициент $b=-6$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-3)^2 - 1 \cdot (-72) = 9 + 72 = 81$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{1} = 3 \pm 9$. $x_1 = 3 + 9 = 12$. $x_2 = 3 - 9 = -6$.
Ответ: $12; -6$.

3) $9x^2 - 102x + 289 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 9$, $b = -102$, $c = 289$. Второй коэффициент $b=-102$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-102}{2} = -51$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-51)^2 - 9 \cdot 289 = 2601 - 2601 = 0$. Так как $D_1 = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Найдем корень по формуле $x = \frac{-k}{a}$: $x = \frac{-(-51)}{9} = \frac{51}{9}$. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $x = \frac{17}{3}$.
Ответ: $\frac{17}{3}$.

4) $7x^2 - 102x - 1067 = 0$

Коэффициенты уравнения: $a = 7$, $b = -102$, $c = -1067$. Второй коэффициент $b=-102$ является четным. Найдем $k$: $k = \frac{b}{2} = \frac{-102}{2} = -51$. Вычислим дискриминант $D_1 = k^2 - ac$: $D_1 = (-51)^2 - 7 \cdot (-1067) = 2601 - (-7469) = 2601 + 7469 = 10070$. Так как $D_1 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем корни по формуле: $x = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-(-51) \pm \sqrt{10070}}{7} = \frac{51 \pm \sqrt{10070}}{7}$.
Ответ: $\frac{51 \pm \sqrt{10070}}{7}$.

10.44. В одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $y = -2x^2$ и $y = \frac{3}{x-2}$;

2) $y = 0,5x^2$ и $y = \frac{1}{x+2}$;

3) $y = -1,5x^2$ и $y = \frac{1}{2x-4}$.

1) $y = -2x^2$ и $y = \frac{3}{x - 2}$

Для построения графиков проанализируем каждую функцию.

Анализ функции $y = -2x^2$:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

• Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
• График симметричен относительно оси Oy.
• Составим таблицу значений:
  x: -2, -1, 0, 1, 2
  y: -8, -2, 0, -2, -8

Анализ функции $y = \frac{3}{x-2}$:

Это дробно-рациональная функция, графиком которой является гипербола. График получен смещением графика функции $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо по оси Ox.

• Область определения: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Все действительные числа, кроме $x=2$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox).
• Составим таблицу значений для каждой ветви:
  Для $x < 2$:
  x: 1, 0, -1
  y: -3, -1.5, -1
  Для $x > 2$:
  x: 3, 4, 5
  y: 3, 1.5, 1

Построим графики в одной координатной плоскости. График $y = -2x^2$ показан синим цветом, а график $y = \frac{3}{x-2}$ - красным. Зеленой пунктирной линией показана асимптота.

Ответ:

2) $y = 0,5x^2$ и $y = \frac{1}{x + 2}$

Для построения графиков проанализируем каждую функцию.

Анализ функции $y = 0,5x^2$:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

• Коэффициент $a = 0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
• График симметричен относительно оси Oy.
• Составим таблицу значений:
  x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
  y: 4.5, 2, 0.5, 0, 0.5, 2, 4.5

Анализ функции $y = \frac{1}{x+2}$:

Это дробно-рациональная функция, графиком которой является гипербола. График получен смещением графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox.

• Область определения: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Все действительные числа, кроме $x=-2$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox).
• Составим таблицу значений для каждой ветви:
  Для $x < -2$:
  x: -3, -4, -5
  y: -1, -0.5, -0.33
  Для $x > -2$:
  x: -1, 0, 1
  y: 1, 0.5, 0.33

Построим графики в одной координатной плоскости. График $y = 0,5x^2$ показан синим цветом, а график $y = \frac{1}{x+2}$ - красным. Зеленой пунктирной линией показана асимптота.

Ответ:

3) $y = -1,5x^2$ и $y = \frac{1}{2x - 4}$

Для построения графиков проанализируем каждую функцию.

Анализ функции $y = -1,5x^2$:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

• Коэффициент $a = -1,5 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
• График симметричен относительно оси Oy.
• Составим таблицу значений:
  x: -2, -1, 0, 1, 2
  y: -6, -1.5, 0, -1.5, -6

Анализ функции $y = \frac{1}{2x-4}$:

Это дробно-рациональная функция, графиком которой является гипербола. Функцию можно переписать как $y = \frac{1}{2(x-2)}$. График получен из графика $y = \frac{0,5}{x}$ смещением на 2 единицы вправо по оси Ox.

• Область определения: $2x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. Все действительные числа, кроме $x=2$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$ (ось Ox).
• Составим таблицу значений для каждой ветви:
  Для $x < 2$:
  x: 1, 0, -2
  y: -0.5, -0.25, -0.125
  Для $x > 2$:
  x: 3, 4, 5
  y: 0.5, 0.25, 0.167

Построим графики в одной координатной плоскости. График $y = -1,5x^2$ показан синим цветом, а график $y = \frac{1}{2x-4}$ - красным. Зеленой пунктирной линией показана асимптота.

Ответ: