Номер 10.37, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.37. 1) $ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}; $

2) $ \frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}. $

1) Решим уравнение $ \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1} $.

Сначала разложим знаменатели на множители. Для этого найдем корни квадратных трехчленов.

Для $x^2 - 9x + 14 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$. Тогда $x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7)$.

Для $x^2 - 3x + 2 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Тогда $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Перепишем уравнение в новом виде:
$ \frac{2x - 7}{(x - 2)(x - 7)} - \frac{1}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{x - 1} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 2)(x - 7)$:

$ \frac{(2x - 7)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} - \frac{1(x - 7)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} = \frac{1(x - 2)(x - 7)}{(x - 1)(x - 2)(x - 7)} $

Так как мы учли ОДЗ, можем отбросить знаменатели и работать с числителями:

$ (2x - 7)(x - 1) - (x - 7) = (x - 2)(x - 7) $

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ (2x^2 - 2x - 7x + 7) - x + 7 = x^2 - 7x - 2x + 14 $

$ 2x^2 - 9x + 7 - x + 7 = x^2 - 9x + 14 $

$ 2x^2 - 10x + 14 = x^2 - 9x + 14 $

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$ 2x^2 - x^2 - 10x + 9x + 14 - 14 = 0 $

$ x^2 - x = 0 $

Вынесем $x$ за скобки:

$ x(x - 1) = 0 $

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 2, x \neq 7$).

Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Таким образом, решением уравнения является $x = 0$.

Ответ: $0$.

2) Решим уравнение $ \frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3} $.

Разложим знаменатели на множители.

Для $x^2 + 5x - 6 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$.

Для $x^2 + 9x + 18 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -6$. Тогда $x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$.

Перепишем уравнение в новом виде:
$ \frac{2x + 7}{(x - 1)(x + 6)} + \frac{3}{(x + 3)(x + 6)} = \frac{1}{x + 3} $

Область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Общий знаменатель: $(x - 1)(x + 6)(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$ (2x + 7)(x + 3) + 3(x - 1) = 1(x - 1)(x + 6) $

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ (2x^2 + 6x + 7x + 21) + (3x - 3) = x^2 + 6x - x - 6 $

$ 2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6 $

$ 2x^2 + 16x + 18 = x^2 + 5x - 6 $

Перенесем все члены в левую часть:

$ 2x^2 - x^2 + 16x - 5x + 18 + 6 = 0 $

$ x^2 + 11x + 24 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -11, а произведение равно 24. Это корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -8$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -6, x \neq -3$).

Корень $x = -8$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому является посторонним.

Следовательно, решением уравнения является $x = -8$.

Ответ: $-8$.