Номер 10.33, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.33.

1) $\frac{5x^2 - 17x + 12}{3x^2 - x - 2} = \frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$;

2) $\frac{3x^2 + 10x + 8}{8x^2 + 18x + 4} = \frac{(8x - 2)^2}{64x^2 - 4}$;

3) $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 + 5x + 2} = \frac{(2x - 1)^2}{4x^2 - 1}$.

1)

Для доказательства тождества необходимо упростить левую и правую части выражения и показать, что они равны. В данном случае, мы покажем, что равенство не является тождеством.

Упростим левую часть: $\frac{5x^2 - 17x + 12}{3x^2 - x - 2}$.
Разложим числитель $5x^2 - 17x + 12$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $5x^2 - 17x + 12 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 289 - 240 = 49 = 7^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 7}{10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$, $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 7}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
Таким образом, $5x^2 - 17x + 12 = 5(x - \frac{12}{5})(x - 1) = (5x - 12)(x - 1)$.

Разложим знаменатель $3x^2 - x - 2$ на множители. Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + 5}{6} = 1$, $x_2 = \frac{1 - 5}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Таким образом, $3x^2 - x - 2 = 3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = (x - 1)(3x + 2)$.

Левая часть после упрощения: $\frac{(5x - 12)(x - 1)}{(x - 1)(3x + 2)} = \frac{5x - 12}{3x + 2}$ при $x \neq 1$.

Теперь упростим правую часть: $\frac{(3x - 2)^2}{9x^2 - 4}$.
Знаменатель $9x^2 - 4$ является разностью квадратов: $(3x)^2 - 2^2 = (3x - 2)(3x + 2)$.
Правая часть после упрощения: $\frac{(3x - 2)^2}{(3x - 2)(3x + 2)} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$ при $x \neq \frac{2}{3}$.

Сравнивая упрощенные выражения, получаем равенство: $\frac{5x - 12}{3x + 2} = \frac{3x - 2}{3x + 2}$.
Данное равенство не является тождеством, так как числители $5x - 12$ и $3x - 2$ не равны для всех допустимых значений $x$. Это уравнение.
Решим его: $5x - 12 = 3x - 2 \implies 2x = 10 \implies x = 5$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Оно представляет собой уравнение, корень которого $x=5$.

2)

Упростим левую и правую части для проверки тождества.

Левая часть: $\frac{3x^2 + 10x + 8}{8x^2 + 18x + 4}$.
Разложим числитель $3x^2 + 10x + 8$ на множители. Корни уравнения $3x^2 + 10x + 8 = 0$:
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 - 96 = 4 = 2^2$.
$x_1 = \frac{-10 + 2}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$, $x_2 = \frac{-10 - 2}{6} = -2$.
$3x^2 + 10x + 8 = 3(x + \frac{4}{3})(x + 2) = (3x + 4)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $8x^2 + 18x + 4 = 2(4x^2 + 9x + 2)$. Корни уравнения $4x^2 + 9x + 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-9 + 7}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$, $x_2 = \frac{-9 - 7}{8} = -2$.
$8x^2 + 18x + 4 = 2 \cdot 4(x + \frac{1}{4})(x + 2) = 2(4x + 1)(x + 2)$.

Левая часть: $\frac{(3x + 4)(x + 2)}{2(4x + 1)(x + 2)} = \frac{3x + 4}{2(4x + 1)} = \frac{3x + 4}{8x + 2}$ при $x \neq -2$.

Правая часть: $\frac{(8x - 2)^2}{64x^2 - 4}$.
Упростим числитель: $(8x - 2)^2 = (2(4x - 1))^2 = 4(4x - 1)^2$.
Упростим знаменатель: $64x^2 - 4 = 4(16x^2 - 1) = 4(4x - 1)(4x + 1)$.
Правая часть: $\frac{4(4x - 1)^2}{4(4x - 1)(4x + 1)} = \frac{4x - 1}{4x + 1}$ при $x \neq \frac{1}{4}$.

Сравниваем: $\frac{3x + 4}{2(4x + 1)} = \frac{4x - 1}{4x + 1}$.
Это не тождество. Решим как уравнение при $x \neq -\frac{1}{4}$:
$3x + 4 = 2(4x - 1) \implies 3x + 4 = 8x - 2 \implies 6 = 5x \implies x = \frac{6}{5}$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Это уравнение, корень которого $x=\frac{6}{5}$.

3)

Упростим обе части выражения для проверки тождества.

Левая часть: $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 + 5x + 2}$.
Разложим числитель $3x^2 + 4x - 4$. Корни уравнения $3x^2 + 4x - 4 = 0$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = -2$.
$3x^2 + 4x - 4 = 3(x - \frac{2}{3})(x + 2) = (3x - 2)(x + 2)$.

Разложим знаменатель $2x^2 + 5x + 2$. Корни уравнения $2x^2 + 5x + 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$, $x_2 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$.
$2x^2 + 5x + 2 = 2(x + \frac{1}{2})(x + 2) = (2x + 1)(x + 2)$.

Левая часть: $\frac{(3x - 2)(x + 2)}{(2x + 1)(x + 2)} = \frac{3x - 2}{2x + 1}$ при $x \neq -2$.

Правая часть: $\frac{(2x - 1)^2}{4x^2 - 1}$.
Знаменатель $4x^2 - 1$ — разность квадратов: $(2x - 1)(2x + 1)$.
Правая часть: $\frac{(2x - 1)^2}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ при $x \neq \frac{1}{2}$.

Сравниваем: $\frac{3x - 2}{2x + 1} = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.
Это не тождество. Решим как уравнение при $x \neq -\frac{1}{2}$:
$3x - 2 = 2x - 1 \implies x = 1$.

Ответ: Исходное равенство не является тождеством. Это уравнение, корень которого $x=1$.