Номер 10.32, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (10.32–10.34):

10.32. 1) $\frac{5x^2 - 7x + 2}{4x^2 + x - 5} = \frac{(4x - 5)^2}{16x^2 - 25};$

2) $\frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 - x - 10} = \frac{(2x + 5)^2}{4x^2 - 25};$

3) $\frac{9x^2 - 42x - 15}{4x^2 - 21x + 5} = \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 - 1}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{5x^2 - 7x + 2}{4x^2 + x - 5} = \frac{(4x - 5)^2}{16x^2 - 25} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели не обращаются в ноль.

1. $ 4x^2 + x - 5 \neq 0 $. Решим квадратное уравнение $ 4x^2 + x - 5 = 0 $.
Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $.
Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} $, $ x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 $.
Следовательно, $ x \neq -\frac{5}{4} $ и $ x \neq 1 $.

2. $ 16x^2 - 25 \neq 0 $. Используем формулу разности квадратов: $ (4x)^2 - 5^2 = (4x - 5)(4x + 5) \neq 0 $.
Отсюда $ 4x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{5}{4} $ и $ 4x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{5}{4} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{5}{4}, 1, \frac{5}{4}\} $.

Теперь упростим уравнение. Разложим числители и знаменатели на множители.
Для числителя левой части $ 5x^2 - 7x + 2 $: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9 = 3^2 $. Корни $ x_1 = \frac{7-3}{10} = \frac{2}{5} $, $ x_2 = \frac{7+3}{10} = 1 $.
Таким образом, $ 5x^2 - 7x + 2 = 5(x - 1)(x - \frac{2}{5}) = (x - 1)(5x - 2) $.
Знаменатель левой части: $ 4x^2 + x - 5 = 4(x-1)(x+\frac{5}{4}) = (x - 1)(4x + 5) $.
Знаменатель правой части: $ 16x^2 - 25 = (4x - 5)(4x + 5) $.

Подставляем разложенные выражения в исходное уравнение:
$ \frac{(x - 1)(5x - 2)}{(x - 1)(4x + 5)} = \frac{(4x - 5)^2}{(4x - 5)(4x + 5)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq \frac{5}{4} $), мы можем сократить общие множители в числителе и знаменателе каждой дроби:
$ \frac{5x - 2}{4x + 5} = \frac{4x - 5}{4x + 5} $.

Так как $ 4x+5 \neq 0 $ (согласно ОДЗ), мы можем умножить обе части уравнения на $ (4x+5) $, что равносильно приравниванию числителей:
$ 5x - 2 = 4x - 5 $
$ 5x - 4x = -5 + 2 $
$ x = -3 $.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $ -3 \neq -\frac{5}{4} $, $ -3 \neq 1 $, $ -3 \neq \frac{5}{4} $. Корень подходит.
Ответ: $ -3 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{3x^2 + 4x - 4}{2x^2 - x - 10} = \frac{(2x + 5)^2}{4x^2 - 25} $.

Найдем ОДЗ.

1. $ 2x^2 - x - 10 \neq 0 $. Решим $ 2x^2 - x - 10 = 0 $.
$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 = 9^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{1 - 9}{4} = -2 $, $ x_2 = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $.
Следовательно, $ x \neq -2 $ и $ x \neq \frac{5}{2} $.

2. $ 4x^2 - 25 \neq 0 $. $ (2x - 5)(2x + 5) \neq 0 $.
Отсюда $ x \neq \frac{5}{2} $ и $ x \neq -\frac{5}{2} $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\} $.

Разложим многочлены на множители.
Числитель левой части $ 3x^2 + 4x - 4 $: $ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{-4 - 8}{6} = -2 $, $ x_2 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{2}{3} $.
$ 3x^2 + 4x - 4 = 3(x+2)(x-\frac{2}{3}) = (x+2)(3x-2) $.
Знаменатель левой части: $ 2x^2 - x - 10 = 2(x+2)(x-\frac{5}{2}) = (x+2)(2x-5) $.
Знаменатель правой части: $ 4x^2 - 25 = (2x - 5)(2x + 5) $.

Подставляем в уравнение:
$ \frac{(x+2)(3x-2)}{(x+2)(2x-5)} = \frac{(2x+5)^2}{(2x-5)(2x+5)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq -2, x \neq -5/2 $), сокращаем дроби:
$ \frac{3x-2}{2x-5} = \frac{2x+5}{2x-5} $.

Так как $ 2x - 5 \neq 0 $, приравниваем числители:
$ 3x - 2 = 2x + 5 $
$ 3x - 2x = 5 + 2 $
$ x = 7 $.

Корень $ x = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $ 7 $.

3) Исходное уравнение: $ \frac{9x^2 - 42x - 15}{4x^2 - 21x + 5} = \frac{(4x + 1)^2}{16x^2 - 1} $.

Найдем ОДЗ.

1. $ 4x^2 - 21x + 5 \neq 0 $. Решим $ 4x^2 - 21x + 5 = 0 $.
$ D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 441 - 80 = 361 = 19^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{21 - 19}{8} = \frac{1}{4} $, $ x_2 = \frac{21 + 19}{8} = 5 $.
Следовательно, $ x \neq \frac{1}{4} $ и $ x \neq 5 $.

2. $ 16x^2 - 1 \neq 0 $. $ (4x - 1)(4x + 1) \neq 0 $.
Отсюда $ x \neq \frac{1}{4} $ и $ x \neq -\frac{1}{4} $.

ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, 5\} $.

Разложим многочлены на множители.
Числитель левой части $ 9x^2 - 42x - 15 = 3(3x^2 - 14x - 5) $.
Для $ 3x^2 - 14x - 5 = 0 $: $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2 $.
Корни: $ x_1 = \frac{14 - 16}{6} = -\frac{1}{3} $, $ x_2 = \frac{14 + 16}{6} = 5 $.
$ 3(3x^2 - 14x - 5) = 3 \cdot 3(x+\frac{1}{3})(x-5) = (3x+1)3(x-5) $. Ошибка в выкладках. Правильно: $ 3(3x^2 - 14x - 5) = 3(3(x-5)(x+1/3)) = (3x+1)3(x-5) $. Нет, $3x^2 - 14x - 5 = 3(x-5)(x+1/3) = (x-5)(3x+1)$.
Тогда $ 9x^2 - 42x - 15 = 3(x - 5)(3x + 1) $.
Знаменатель левой части: $ 4x^2 - 21x + 5 = 4(x-\frac{1}{4})(x-5) = (4x-1)(x-5) $.
Знаменатель правой части: $ 16x^2 - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $.

Подставляем в уравнение:
$ \frac{3(x-5)(3x+1)}{(4x-1)(x-5)} = \frac{(4x+1)^2}{(4x-1)(4x+1)} $.

С учетом ОДЗ ($ x \neq 5 $ и $ x \neq -\frac{1}{4} $), сокращаем дроби:
$ \frac{3(3x+1)}{4x-1} = \frac{4x+1}{4x-1} $.

Так как $ 4x - 1 \neq 0 $, приравниваем числители:
$ 3(3x+1) = 4x+1 $
$ 9x + 3 = 4x + 1 $
$ 5x = -2 $
$ x = -\frac{2}{5} $.

Корень $ x = -\frac{2}{5} = -0.4 $ удовлетворяет ОДЗ ($ -0.4 \notin \{-0.25, 0.25, 5\} $).
Ответ: $ -\frac{2}{5} $.