Номер 10.38, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.38. 1)

$\frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^2 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1};$

2)

$\frac{x - 1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x + 2}{x^3 + 3x^2 - x - 3}.$

1)Исходное уравнение:$ \frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^2 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1} $
Разложим знаменатели на множители.
$ D_1 = 4x^2 + 1 $
$ D_2 = 16x^2 - 1 = (4x - 1)(4x + 1) $
$ D_3 = 8x^3 + 4x^2 + 2x + 1 = 4x^2(2x + 1) + 1(2x + 1) = (4x^2 + 1)(2x + 1) $
Приведение к общему знаменателю в исходном виде приводит к очень громоздкому уравнению четвертой степени, которое не имеет простых рациональных корней. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка во втором знаменателе, и вместо $16x^2-1$ должно быть $16x^4-1$. В этом случае задача имеет стандартное решение.
Предположим, что уравнение имеет вид:$ \frac{25}{4x^2 + 1} - \frac{8x + 29}{16x^4 - 1} = \frac{18x + 5}{8x^3 + 4x^2 + 2x + 1} $
Разложим на множители новый второй знаменатель:
$ 16x^4 - 1 = (4x^2 - 1)(4x^2 + 1) = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) $
Знаменатели в предполагаемом уравнении:
$ D_1 = 4x^2 + 1 $
$ D_2 = (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) $
$ D_3 = (4x^2 + 1)(2x + 1) $
Общий знаменатель (ОЗ) для этого случая: $(2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $ (2x - 1)(2x + 1)(4x^2 + 1) \neq 0 $, откуда $ x \neq \frac{1}{2} $ и $ x \neq -\frac{1}{2} $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$ 25(2x - 1)(2x + 1) - (8x + 29) = (18x + 5)(2x - 1) $
Раскроем скобки и упростим:
$ 25(4x^2 - 1) - 8x - 29 = 36x^2 - 18x + 10x - 5 $
$ 100x^2 - 25 - 8x - 29 = 36x^2 - 8x - 5 $
$ 100x^2 - 8x - 54 = 36x^2 - 8x - 5 $
Сократим $ -8x $ с обеих сторон:
$ 100x^2 - 54 = 36x^2 - 5 $
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а константы — в правую:
$ 100x^2 - 36x^2 = 54 - 5 $
$ 64x^2 = 49 $
$ x^2 = \frac{49}{64} $
$ x = \pm\sqrt{\frac{49}{64}} $
$ x_1 = \frac{7}{8}, x_2 = -\frac{7}{8} $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm\frac{7}{8}$.

2)Исходное уравнение:$ \frac{x - 1}{x^3 + 3x^2 + x + 3} + \frac{1}{x^4 - 1} = \frac{x + 2}{x^3 + 3x^2 - x - 3} $
Разложим знаменатели на множители, используя метод группировки и формулы сокращенного умножения.
$ D_1 = x^3 + 3x^2 + x + 3 = x^2(x + 3) + 1(x + 3) = (x^2 + 1)(x + 3) $
$ D_2 = x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) $
$ D_3 = x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x + 3) - 1(x + 3) = (x^2 - 1)(x + 3) = (x - 1)(x + 1)(x + 3) $
Общий знаменатель (ОЗ): $(x - 1)(x + 1)(x + 3)(x^2 + 1)$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $ x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
$ (x - 1)(x - 1)(x + 1) + 1(x + 3) = (x + 2)(x^2 + 1) $
$ (x-1)^2(x+1) + x + 3 = (x+2)(x^2+1) $
Раскроем скобки.
Левая часть:
$ (x^2 - 2x + 1)(x+1) + x + 3 = (x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1) + x + 3 = x^3 - x^2 - x + 1 + x + 3 = x^3 - x^2 + 4 $
Правая часть:
$ x^3 + x + 2x^2 + 2 = x^3 + 2x^2 + x + 2 $
Приравняем левую и правую части:
$ x^3 - x^2 + 4 = x^3 + 2x^2 + x + 2 $
Сократим $x^3$ с обеих сторон и перенесем все члены в одну часть:
$ -x^2 + 4 = 2x^2 + x + 2 $
$ 0 = 2x^2 + x + 2 + x^2 - 4 $
$ 3x^2 + x - 2 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 $
Корни уравнения:
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1 $
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($ x \neq 1, x \neq -1, x \neq -3 $).
Корень $ x_1 = \frac{2}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении x знаменатели $D_2$ и $D_3$ обращаются в ноль. Следовательно, $x_2=-1$ является посторонним корнем.
Ответ: $x = \frac{2}{3}$.