Номер 10.31, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.31. Найдите неотрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35; $

2) $ \frac{x^3 + 64}{4x + 16} = 11 - \frac{x}{4}. $

1) Решим уравнение $\frac{x^3 - 125}{x - 5} = 8x + 35$.
По условию, мы ищем неотрицательные корни, то есть $x \ge 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x - 5 \neq 0$, откуда $x \neq 5$.
Числитель дроби в левой части уравнения представляет собой разность кубов. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$.
Подставим это выражение в уравнение и сократим дробь, учитывая, что $x \neq 5$:
$\frac{(x - 5)(x^2 + 5x + 25)}{x - 5} = 8x + 35$
$x^2 + 5x + 25 = 8x + 35$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 8x + 25 - 35 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -10, а их сумма равна 3. Корнями являются числа 5 и -2.
$x_1 = 5$, $x_2 = -2$.
Теперь проверим найденные корни.
Корень $x_1 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 5$. Следовательно, $x=5$ не является корнем исходного уравнения.
Корень $x_2 = -2$ является отрицательным числом, а по условию задачи требуется найти неотрицательные корни.
Таким образом, у данного уравнения нет неотрицательных корней.
Ответ: неотрицательных корней нет.

2) Решим уравнение $\frac{x^3 + 64}{4x + 16} = 11 - \frac{x}{4}$.
По условию, мы ищем неотрицательные корни, то есть $x \ge 0$.
ОДЗ уравнения: знаменатель не равен нулю, $4x + 16 \neq 0$, что равносильно $4(x+4) \neq 0$, откуда $x \neq -4$.
Преобразуем левую часть уравнения. Числитель — это сумма кубов. Используем формулу $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:
$x^3 + 64 = x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.
Знаменатель можно разложить на множители: $4x + 16 = 4(x + 4)$.
Подставим эти выражения в уравнение:
$\frac{(x + 4)(x^2 - 4x + 16)}{4(x + 4)} = 11 - \frac{x}{4}$
Сократим дробь на $(x+4)$, так как $x \neq -4$:
$\frac{x^2 - 4x + 16}{4} = 11 - \frac{x}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$x^2 - 4x + 16 = 4 \cdot 11 - 4 \cdot \frac{x}{4}$
$x^2 - 4x + 16 = 44 - x$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - 4x + x + 16 - 44 = 0$
$x^2 - 3x - 28 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -28, а сумма равна 3. Корнями являются числа 7 и -4.
$x_1 = 7$, $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни.
Корень $x_2 = -4$ не входит в ОДЗ ($x \neq -4$), поэтому он не является решением.
Корень $x_1 = 7$ является неотрицательным числом ($7 \ge 0$) и удовлетворяет ОДЗ.
Следовательно, единственный неотрицательный корень уравнения — это 7.
Ответ: 7.