Номер 10.24, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (10.24—10.29):

10.24. 1)

$\frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1}$

2)

$\frac{x+0,5}{9x+3} + \frac{8x^2+3}{9x^2-1} = \frac{x+2}{3x-1}$

3)

$\frac{x+3}{4x^2-9} - \frac{3-x}{4x^2+12x+9} = \frac{2}{2x-3}$

4)

$\frac{1-2x}{6x^2+3x} + \frac{2x+1}{14x^2-7x} = \frac{8}{12x^2-3}$

1) Исходное уравнение: $ \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2 - 1} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$2-2x \neq 0 \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1$
$x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
ОДЗ: $x \neq \pm 1$.
Преобразуем уравнение. Разложим знаменатели на множители и изменим знак во второй дроби:
$ \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{-2(x-1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)} $
$ \frac{7}{x+1} + \frac{x+4}{2(x-1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)} $
Общий знаменатель: $2(x-1)(x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$ 7 \cdot 2(x-1) + (x+4)(x+1) = 2(3x^2 - 38) $
Раскроем скобки и упростим:
$ 14(x-1) + (x^2 + x + 4x + 4) = 6x^2 - 76 $
$ 14x - 14 + x^2 + 5x + 4 = 6x^2 - 76 $
$ x^2 + 19x - 10 = 6x^2 - 76 $
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ 6x^2 - x^2 - 19x - 76 + 10 = 0 $
$ 5x^2 - 19x - 66 = 0 $
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-66) = 361 + 1320 = 1681 = 41^2 $
$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{60}{10} = 6 $
$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{-22}{10} = -2,2 $
Оба корня ($6$ и $-2,2$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $6; -2,2$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{x + 0,5}{9x + 3} + \frac{8x^2 + 3}{9x^2 - 1} = \frac{x + 2}{3x - 1} $.
ОДЗ:
$9x + 3 \neq 0 \implies 3(3x+1) \neq 0 \implies x \neq -1/3$
$9x^2 - 1 \neq 0 \implies (3x-1)(3x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1/3$
$3x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1/3$
ОДЗ: $x \neq \pm 1/3$.
Разложим знаменатели на множители:
$ \frac{x + 0,5}{3(3x + 1)} + \frac{8x^2 + 3}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{x + 2}{3x - 1} $
Общий знаменатель: $3(3x-1)(3x+1)$. Умножим обе части уравнения на него:
$ (x + 0,5)(3x - 1) + 3(8x^2 + 3) = 3(x + 2)(3x + 1) $
Раскроем скобки:
$ (3x^2 - x + 1,5x - 0,5) + (24x^2 + 9) = 3(3x^2 + x + 6x + 2) $
$ 3x^2 + 0,5x - 0,5 + 24x^2 + 9 = 9x^2 + 21x + 6 $
$ 27x^2 + 0,5x + 8,5 = 9x^2 + 21x + 6 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 18x^2 - 20,5x + 2,5 = 0 $
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$ 36x^2 - 41x + 5 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1681 - 720 = 961 = 31^2 $
$ x_1 = \frac{41 + 31}{2 \cdot 36} = \frac{72}{72} = 1 $
$ x_2 = \frac{41 - 31}{2 \cdot 36} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} $
Оба корня ($1$ и $5/36$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; \frac{5}{36}$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{x + 3}{4x^2 - 9} - \frac{3 - x}{4x^2 + 12x + 9} = \frac{2}{2x - 3} $.
ОДЗ:
$4x^2 - 9 \neq 0 \implies (2x-3)(2x+3) \neq 0 \implies x \neq \pm 3/2$
$4x^2 + 12x + 9 \neq 0 \implies (2x+3)^2 \neq 0 \implies x \neq -3/2$
$2x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3/2$
ОДЗ: $x \neq \pm 3/2$.
Преобразуем уравнение, используя формулы сокращенного умножения и изменив знак во второй дроби:
$ \frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} - \frac{-(x - 3)}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3} $
$ \frac{x + 3}{(2x - 3)(2x + 3)} + \frac{x - 3}{(2x + 3)^2} = \frac{2}{2x - 3} $
Общий знаменатель: $(2x-3)(2x+3)^2$. Умножим обе части на него:
$ (x + 3)(2x + 3) + (x - 3)(2x - 3) = 2(2x + 3)^2 $
Раскроем скобки:
$ (2x^2 + 6x + 3x + 9) + (2x^2 - 6x - 3x + 9) = 2(4x^2 + 12x + 9) $
$ (2x^2 + 9x + 9) + (2x^2 - 9x + 9) = 8x^2 + 24x + 18 $
$ 4x^2 + 18 = 8x^2 + 24x + 18 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 4x^2 + 24x = 0 $
$ 4x(x + 6) = 0 $
Отсюда получаем два корня:
$ 4x = 0 \implies x_1 = 0 $
$ x + 6 = 0 \implies x_2 = -6 $
Оба корня ($0$ и $-6$) удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-6; 0$.

4) Исходное уравнение: $ \frac{1 - 2x}{6x^2 + 3x} + \frac{2x + 1}{14x^2 - 7x} = \frac{8}{12x^2 - 3} $.
ОДЗ:
$6x^2 + 3x = 3x(2x+1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -1/2$
$14x^2 - 7x = 7x(2x-1) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 1/2$
$12x^2 - 3 = 3(4x^2-1) = 3(2x-1)(2x+1) \neq 0 \implies x \neq \pm 1/2$
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq \pm 1/2$.
Разложим знаменатели на множители и преобразуем числитель первой дроби:
$ \frac{-(2x - 1)}{3x(2x + 1)} + \frac{2x + 1}{7x(2x - 1)} = \frac{8}{3(2x - 1)(2x + 1)} $
Общий знаменатель: $21x(2x-1)(2x+1)$. Умножим обе части на него:
$ -(2x - 1) \cdot 7(2x - 1) + (2x + 1) \cdot 3(2x + 1) = 8 \cdot 7x $
Раскроем скобки:
$ -7(2x - 1)^2 + 3(2x + 1)^2 = 56x $
$ -7(4x^2 - 4x + 1) + 3(4x^2 + 4x + 1) = 56x $
$ -28x^2 + 28x - 7 + 12x^2 + 12x + 3 = 56x $
$ -16x^2 + 40x - 4 = 56x $
Перенесем все в правую часть:
$ 0 = 16x^2 + 56x - 40x + 4 $
$ 16x^2 + 16x + 4 = 0 $
Разделим на 4:
$ 4x^2 + 4x + 1 = 0 $
Это полный квадрат:
$ (2x + 1)^2 = 0 $
$ 2x + 1 = 0 \implies x = -1/2 $
Проверим корень по ОДЗ. Мы определили, что $x \neq -1/2$. Следовательно, найденный корень является посторонним.
Ответ: корней нет.