Номер 10.17, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.17. Найдите все неотрицательные корни уравнения:

1) $ \frac{5x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} $;

2) $ \frac{3x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} $.

1)

Дано уравнение: $ \frac{5x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} $.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 9. НОК(2, 4, 9) = 36.

$ 36 \cdot \frac{5x^2 + 1}{2} = 36 \cdot \left( \frac{1 + 7x}{4} + \frac{1 + 8x}{9} \right) $

$ 18(5x^2 + 1) = 9(1 + 7x) + 4(1 + 8x) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 90x^2 + 18 = 9 + 63x + 4 + 32x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 90x^2 + 18 = 13 + 95x $

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$ 90x^2 - 95x + 18 - 13 = 0 $

$ 90x^2 - 95x + 5 = 0 $

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5:

$ 18x^2 - 19x + 1 = 0 $

Теперь решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 361 - 72 = 289 $

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_{1,2} = \frac{-(-19) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 18} = \frac{19 \pm 17}{36} $

Вычисляем каждый корень:

$ x_1 = \frac{19 + 17}{36} = \frac{36}{36} = 1 $

$ x_2 = \frac{19 - 17}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} $

По условию задачи требуется найти все неотрицательные корни. Оба корня $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{1}{18}$ являются положительными, следовательно, они удовлетворяют условию.

Ответ: $1; \frac{1}{18}$.

2)

Дано уравнение: $ \frac{3x^2 + 1}{2} = \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} $.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 2, 6 и 8. НОК(2, 6, 8) = 24. Умножим обе части уравнения на 24:

$ 24 \cdot \frac{3x^2 + 1}{2} = 24 \cdot \left( \frac{1 + 5x}{6} + \frac{1 + 7x}{8} \right) $

$ 12(3x^2 + 1) = 4(1 + 5x) + 3(1 + 7x) $

Раскроем скобки:

$ 36x^2 + 12 = 4 + 20x + 3 + 21x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 36x^2 + 12 = 7 + 41x $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ 36x^2 - 41x + 12 - 7 = 0 $

$ 36x^2 - 41x + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$ D = (-41)^2 - 4 \cdot 36 \cdot 5 = 1681 - 720 = 961 $

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$ x_{1,2} = \frac{-(-41) \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 36} = \frac{41 \pm 31}{72} $

Вычисляем каждый корень:

$ x_1 = \frac{41 + 31}{72} = \frac{72}{72} = 1 $

$ x_2 = \frac{41 - 31}{72} = \frac{10}{72} = \frac{5}{36} $

Оба корня $x_1 = 1$ и $x_2 = \frac{5}{36}$ являются положительными, то есть неотрицательными.

Ответ: $1; \frac{5}{36}$.