Номер 10.16, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.16. Найдите все неотрицательные корни уравнения:

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} = x;$

2) $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{6x}{x-5} + x.$

1) $\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} = x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x + 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne -1$
$x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$
ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$\frac{x}{x+1} + \frac{x}{x-3} - x = 0$
$x \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - 1 \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $x_1 = 0$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Так как по условию нужно найти неотрицательные корни ($x \ge 0$), $x_1=0$ является одним из решений.

б) $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - 1 = 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $(x+1)(x-3)$:
$\frac{x-3}{(x+1)(x-3)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-3)} - \frac{(x+1)(x-3)}{(x+1)(x-3)} = 0$
$\frac{(x-3) + (x+1) - (x^2 - 2x - 3)}{x^2 - 2x - 3} = 0$
$\frac{2x - 2 - x^2 + 2x + 3}{x^2 - 2x - 3} = 0$
$\frac{-x^2 + 4x + 1}{x^2 - 2x - 3} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).
$-x^2 + 4x + 1 = 0$
$x^2 - 4x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Получаем еще два корня: $x_2 = 2 + \sqrt{5}$ и $x_3 = 2 - \sqrt{5}$.

Все три найденных корня ($0$, $2 + \sqrt{5}$, $2 - \sqrt{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Теперь выберем из них только неотрицательные.
$x_1 = 0$ — неотрицательный.
$x_2 = 2 + \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то $2 + \sqrt{5} > 0$, корень неотрицательный.
$x_3 = 2 - \sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236$, то $2 - \sqrt{5} < 0$, корень отрицательный и не подходит по условию.

Таким образом, неотрицательными корнями уравнения являются $0$ и $2 + \sqrt{5}$.
Ответ: $0; 2 + \sqrt{5}$.

2) $\frac{x^2}{2x-1} = \frac{6x}{x-5} + x$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$2x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{1}{2}$
$x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5$
ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; 5) \cup (5; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем $x$ за скобки:
$\frac{x^2}{2x-1} - \frac{6x}{x-5} - x = 0$
$x \left( \frac{x}{2x-1} - \frac{6}{x-5} - 1 \right) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $x_1 = 0$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Так как $0 \ge 0$, это один из искомых неотрицательных корней.

б) $\frac{x}{2x-1} - \frac{6}{x-5} - 1 = 0$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(2x-1)(x-5)$:
$\frac{x(x-5) - 6(2x-1) - (2x-1)(x-5)}{(2x-1)(x-5)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю (так как знаменатель не равен нулю по ОДЗ):
$x(x-5) - 6(2x-1) - (2x-1)(x-5) = 0$
$x^2 - 5x - (12x - 6) - (2x^2 - 10x - x + 5) = 0$
$x^2 - 5x - 12x + 6 - (2x^2 - 11x + 5) = 0$
$x^2 - 17x + 6 - 2x^2 + 11x - 5 = 0$
$-x^2 - 6x + 1 = 0$
$x^2 + 6x - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$
$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$
Получаем еще два корня: $x_2 = -3 + \sqrt{10}$ и $x_3 = -3 - \sqrt{10}$.

Все три корня ($0$, $-3 + \sqrt{10}$, $-3 - \sqrt{10}$) удовлетворяют ОДЗ.

Теперь из них выберем неотрицательные.
$x_1 = 0$ — неотрицательный.
$x_2 = -3 + \sqrt{10}$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $-3 + \sqrt{10} > 0$, корень неотрицательный.
$x_3 = -3 - \sqrt{10}$. Этот корень очевидно отрицательный и не подходит по условию.

Таким образом, неотрицательными корнями уравнения являются $0$ и $-3 + \sqrt{10}$.
Ответ: $0; -3 + \sqrt{10}$.