Номер 10.15, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.15. 1) $(x-1) \cdot \left(2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) = 0;$

2) $x \cdot \left(1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1) \cdot (x-2)}\right) = 0.$

1) $(x-1) \cdot (2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$x \neq 0$

$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Значение $x=1$ входит в ОДЗ, следовательно, является корнем уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$2 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} = 0$

Приведем все члены к общему знаменателю $x(x+2)$:

$\frac{2x(x+2)}{x(x+2)} + \frac{1(x+2)}{x(x+2)} - \frac{1x}{x(x+2)} = 0$

$\frac{2x^2 + 4x + x + 2 - x}{x(x+2)} = 0$

$\frac{2x^2 + 4x + 2}{x(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что учтено в ОДЗ).

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 + 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата суммы:

$(x+1)^2 = 0$

$x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$

Значение $x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 \neq 0$ и $-1 \neq -2$. Следовательно, $x=-1$ также является корнем уравнения.

Объединяем полученные корни.

Ответ: $-1; 1$.

2) $x \cdot (1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1)(x-2)}) = 0$

Это уравнение также является произведением, равным нулю. Решаем его аналогично первому.

Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю:

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

ОДЗ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2) \cup (2; +\infty)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x=0$

Значение $x=0$ входит в ОДЗ, так как $0 \neq -1$ и $0 \neq 2$. Следовательно, $x=0$ — корень уравнения.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$1 + \frac{5}{x-2} + \frac{1}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приведем все члены к общему знаменателю $(x+1)(x-2)$:

$\frac{1(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{5(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{1}{(x+1)(x-2)} = 0$

$\frac{(x+1)(x-2) + 5(x+1) + 1}{(x+1)(x-2)} = 0$

Приравниваем числитель к нулю:

$(x^2 - 2x + x - 2) + (5x + 5) + 1 = 0$

$x^2 - x - 2 + 5x + 5 + 1 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Сворачиваем по формуле квадрата суммы:

$(x+2)^2 = 0$

$x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Значение $x=-2$ входит в ОДЗ, так как $-2 \neq -1$ и $-2 \neq 2$. Следовательно, $x=-2$ является корнем уравнения.

Объединяем полученные корни.

Ответ: $-2; 0$.