Номер 10.14, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.14.

1) $(3x + 1)^2 + (4x - 1)^2 = (5x - 2)^2$;

2) $(12x + 1)^2 + (5x - 1)^2 = (13x - 1)^2$.

1) Исходное уравнение: $(3x + 1)^2 + (4x - 1)^2 = (5x - 2)^2$.

Для решения раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Левая часть:

$(3x + 1)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 + 6x + 1$

$(4x - 1)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 1 + 1^2 = 16x^2 - 8x + 1$

Правая часть:

$(5x - 2)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4$

Подставим раскрытые скобки обратно в уравнение:

$(9x^2 + 6x + 1) + (16x^2 - 8x + 1) = 25x^2 - 20x + 4$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2 + 16x^2) + (6x - 8x) + (1 + 1) = 25x^2 - 20x + 4$

$25x^2 - 2x + 2 = 25x^2 - 20x + 4$

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы решить его относительно $x$.

$25x^2 - 2x + 2 - 25x^2 + 20x - 4 = 0$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$(-2x + 20x) + (2 - 4) = 0$

$18x - 2 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$18x = 2$

$x = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(12x + 1)^2 + (5x - 1)^2 = (13x - 1)^2$.

Аналогично первому пункту, раскроем все скобки.

Левая часть:

$(12x + 1)^2 = (12x)^2 + 2 \cdot 12x \cdot 1 + 1^2 = 144x^2 + 24x + 1$

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$

Правая часть:

$(13x - 1)^2 = (13x)^2 - 2 \cdot 13x \cdot 1 + 1^2 = 169x^2 - 26x + 1$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(144x^2 + 24x + 1) + (25x^2 - 10x + 1) = 169x^2 - 26x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(144x^2 + 25x^2) + (24x - 10x) + (1 + 1) = 169x^2 - 26x + 1$

$169x^2 + 14x + 2 = 169x^2 - 26x + 1$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$169x^2 + 14x + 2 - 169x^2 + 26x - 1 = 0$

Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются, так как $169-169=0$.

$(14x + 26x) + (2 - 1) = 0$

$40x + 1 = 0$

Решаем полученное линейное уравнение:

$40x = -1$

$x = -\frac{1}{40}$

Ответ: $x = -\frac{1}{40}$.