Номер 10.7, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.7.1) $\frac{5}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x - 1}$;

2) $\frac{3}{x^2 - 6x + 9} + \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x + 3}$.

1) Решим уравнение $\frac{5}{x^2 + 2x + 1} - \frac{2}{1 - x^2} = \frac{1}{x - 1}$.

Сначала разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ и разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:

$\frac{5}{(x + 1)^2} - \frac{2}{-(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$

Упростим выражение, изменив знак перед второй дробью:

$\frac{5}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x - 1}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю:

$(x + 1)^2 \neq 0 \implies x \neq -1$

$(x - 1)(x + 1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$

Следовательно, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(x + 1)^2(x - 1)$. Для этого умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель:

$5(x - 1) + 2(x + 1) = 1(x + 1)^2$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$5x - 5 + 2x + 2 = x^2 + 2x + 1$

$7x - 3 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 2x + 1 - 7x + 3 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 4$

Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$, $x \neq -1$).

Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходных дробей обращаются в ноль. Это посторонний корень.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4$

2) Решим уравнение $\frac{3}{x^2 - 6x + 9} + \frac{6}{9 - x^2} = \frac{1}{x + 3}$.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

$9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) = -(x - 3)(x + 3)$

Подставим разложенные знаменатели в уравнение:

$\frac{3}{(x - 3)^2} + \frac{6}{-(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$

$\frac{3}{(x - 3)^2} - \frac{6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$

Определим ОДЗ:

$(x - 3)^2 \neq 0 \implies x \neq 3$

$(x - 3)(x + 3) \neq 0 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$

ОДЗ: $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Общий знаменатель дробей равен $(x - 3)^2(x + 3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3(x + 3) - 6(x - 3) = 1(x - 3)^2$

Раскроем скобки:

$3x + 9 - 6x + 18 = x^2 - 6x + 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x + 27 = x^2 - 6x + 9$

Перенесем все в правую часть:

$0 = x^2 - 6x + 9 + 3x - 27$

$x^2 - 3x - 18 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 3$, $x \neq -3$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как обращает знаменатели в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: $6$