Номер 10.5, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.5. 1) $\frac{2x}{x^2 + 2} = \frac{3x^2}{x^2 + 2}$;

2) $\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4}$;

3) $\frac{4x}{x^2 - 9} = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$;

4) $\frac{3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}$.

1) Дано уравнение $\frac{2x}{x^2 + 2} = \frac{3x^2}{x^2 + 2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 2$ всегда положителен ($x^2 \ge 0 \implies x^2 + 2 \ge 2$).
Поскольку знаменатели дробей равны и не обращаются в ноль, мы можем приравнять их числители:
$2x = 3x^2$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону:
$3x^2 - 2x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
$x = 0$ или $3x - 2 = 0$
Решая второе уравнение, получаем $3x = 2$, откуда $x = \frac{2}{3}$.
Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$, входят в область допустимых значений.
Ответ: $0; \frac{2}{3}$.

2) Дано уравнение $\frac{2x}{x^2 - 4} = \frac{x^2}{x^2 - 4}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 4$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0 \implies (x - 2)(x + 2) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
На ОДЗ мы можем приравнять числители:
$2x = x^2$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем два потенциальных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x = 0$ удовлетворяет условиям $x \neq 2$ и $x \neq -2$, следовательно, является решением уравнения.
Корень $x = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет только одно решение.
Ответ: $0$.

3) Дано уравнение $\frac{4x}{x^2 - 9} = \frac{x^2 + 3}{x^2 - 9}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 9$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$4x = x^2 + 3$
Запишем это как стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 4x + 3 = 0$
Это уравнение можно решить, разложив на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Это корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
$(x - 1)(x - 3) = 0$
Проверим корни на принадлежность ОДЗ.
Корень $x = 1$ удовлетворяет условиям $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ, поэтому является посторонним.
Единственным решением является $x=1$.
Ответ: $1$.

4) Дано уравнение $\frac{3x - 4}{x^2 - 16} = \frac{x^2}{x^2 - 16}$.
Найдем ОДЗ. Знаменатель $x^2 - 16$ не должен быть равен нулю.
$x^2 - 16 \neq 0 \implies (x - 4)(x + 4) \neq 0$
Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Приравниваем числители:
$3x - 4 = x^2$
Приведем уравнение к стандартному виду:
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Для решения этого квадратного уравнения вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$
Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Следовательно, исходное уравнение также не имеет решений.
Ответ: нет корней.