Номер 10.6, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.6. 1) $ \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} $

2) $ \frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6} $

1) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2 + 10x + 25} - \frac{10}{25 - x^2} = \frac{1}{x - 5} $.
Первым шагом преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: полный квадрат суммы $ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
$ x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2 $
$ 25 - x^2 = 5^2 - x^2 = (5-x)(5+x) = -(x-5)(x+5) $
Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:
$ \frac{2}{(x+5)^2} - \frac{10}{-(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5} $
Упростим выражение, изменив знак перед второй дробью:
$ \frac{2}{(x+5)^2} + \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x-5} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:
$ x+5 \neq 0 \implies x \neq -5 $
$ x-5 \neq 0 \implies x \neq 5 $
ОДЗ: $ x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; +\infty) $.
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $ (x-5)(x+5)^2 $.
$ \frac{2(x-5)}{(x-5)(x+5)^2} + \frac{10(x+5)}{(x-5)(x+5)^2} = \frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)^2} $
Теперь мы можем приравнять числители, так как знаменатели равны и не равны нулю в ОДЗ:
$ 2(x-5) + 10(x+5) = (x+5)^2 $
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$ 2x - 10 + 10x + 50 = x^2 + 10x + 25 $
$ 12x + 40 = x^2 + 10x + 25 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$ x^2 + 10x - 12x + 25 - 40 = 0 $
$ x^2 - 2x - 15 = 0 $
Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $ x_1+x_2 = 2 $, произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -15 $. Подбором находим корни: $ x_1 = 5 $ и $ x_2 = -3 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_1 = 5 $ не входит в ОДЗ, следовательно, является посторонним. Корень $ x_2 = -3 $ входит в ОДЗ.
Ответ: -3.

2) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2 - 12x + 36} + \frac{12}{36 - x^2} = \frac{1}{x + 6} $.
Преобразуем знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: полный квадрат разности $ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $.
$ x^2 - 12x + 36 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2 $
$ 36 - x^2 = 6^2 - x^2 = (6-x)(6+x) = -(x-6)(x+6) $
Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{(x-6)^2} + \frac{12}{-(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6} $
Упростим выражение:
$ \frac{1}{(x-6)^2} - \frac{12}{(x-6)(x+6)} = \frac{1}{x+6} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$ x-6 \neq 0 \implies x \neq 6 $
$ x+6 \neq 0 \implies x \neq -6 $
ОДЗ: $ x \in (-\infty; -6) \cup (-6; 6) \cup (6; +\infty) $.
Общий знаменатель для дробей: $ (x+6)(x-6)^2 $. Приведем уравнение к общему знаменателю.
$ \frac{1(x+6)}{(x+6)(x-6)^2} - \frac{12(x-6)}{(x+6)(x-6)^2} = \frac{1(x-6)^2}{(x+6)(x-6)^2} $
Приравняем числители:
$ (x+6) - 12(x-6) = (x-6)^2 $
Раскроем скобки и решим уравнение:
$ x + 6 - 12x + 72 = x^2 - 12x + 36 $
$ -11x + 78 = x^2 - 12x + 36 $
Перенесем все члены в одну сторону:
$ x^2 - 12x + 11x + 36 - 78 = 0 $
$ x^2 - x - 42 = 0 $
Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $ x_1+x_2 = 1 $, произведение корней $ x_1 \cdot x_2 = -42 $. Корни: $ x_1 = 7 $ и $ x_2 = -6 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x_2 = -6 $ не входит в ОДЗ, так как $ x \neq -6 $, значит, это посторонний корень. Корень $ x_1 = 7 $ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 7.