Вопросы, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В результате преобразований заменили дробно-рациональное уравнение квадратным уравнением. Всегда ли эти уравнения равносильны?

2. Что может произойти с количеством корней дробно-рационального уравнения, если учесть только то, что значение дроби равно нулю, когда ее числитель равен нулю?

1. Нет, не всегда. Дробно-рациональное уравнение вида $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ и квадратное уравнение (полученное из числителя, например, $P(x) = 0$) равносильны только в том случае, если множества их корней совпадают. При переходе от дробно-рационального уравнения к уравнению, полученному приравниванием числителя к нулю, мы избавляемся от знаменателя, что может привести к расширению области допустимых значений (ОДЗ). Это, в свою очередь, может привести к появлению посторонних корней.

Посторонние корни — это корни уравнения $P(x) = 0$, которые не входят в ОДЗ исходного дробно-рационального уравнения, то есть те значения переменной, при которых знаменатель $Q(x)$ обращается в ноль.

Рассмотрим пример. Пусть дано дробно-рациональное уравнение:

$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Для решения мы приравниваем числитель к нулю и получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 9 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить, входят ли эти корни в ОДЗ исходного уравнения. Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq 3$, следовательно, он является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, исходное дробно-рациональное уравнение имеет только один корень $x = -3$, в то время как полученное из него квадратное уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$. Поскольку множества их корней ( $\{-3\}$ и $\{-3, 3\}$ ) не совпадают, эти уравнения не являются равносильными.

Ответ: Нет, дробно-рациональное уравнение и полученное из него квадратное уравнение не всегда равносильны, так как при преобразовании могут появиться посторонние корни, которые являются корнями квадратного уравнения, но не удовлетворяют области допустимых значений исходного уравнения.

2. Если при решении дробно-рационального уравнения $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$ учитывать только условие равенства числителя нулю ($P(x) = 0$) и игнорировать условие, что знаменатель не должен быть равен нулю ($Q(x) \neq 0$), то количество найденных корней может оказаться больше, чем истинное количество корней исходного уравнения.

Это происходит потому, что среди корней уравнения $P(x) = 0$ могут оказаться такие значения переменной, которые обращают в ноль знаменатель $Q(x)$. Такие корни называются посторонними, и они не являются решениями исходного дробно-рационального уравнения. Таким образом, пренебрежение проверкой по ОДЗ может привести к увеличению числа корней за счет добавления посторонних.

Рассмотрим тот же пример:

$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

Если мы учитываем только то, что числитель равен нулю, мы решаем $x^2 - 9 = 0$ и находим два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Таким образом, мы получаем два решения.

Однако правильное решение требует также проверки условия $x - 3 \neq 0$. Значение $x = 3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому оно является посторонним корнем. Истинное решение только одно: $x = -3$.

Таким образом, из-за упрощенного подхода количество корней увеличилось с одного до двух.

В общем случае, количество корней может либо остаться прежним (если ни один из корней числителя не обращает в ноль знаменатель), либо увеличиться. Уменьшиться количество корней не может, так как любой корень исходного уравнения обязательно является корнем числителя.

Ответ: Количество найденных корней может увеличиться за счет появления посторонних корней, то есть тех корней числителя, которые обращают знаменатель в ноль и не являются решениями исходного уравнения.