Номер 9.34, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.34. В какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций:

1) $f(x) = 0.4x + 3.1$ и $g(x) = -0.8x + 3.6$;

2) $f(x) = -0.8x + 3.5$ и $g(x) = \sqrt{x+5}$;

3) $f(x) = 0.2x - 1.2$ и $g(x) = \frac{1}{x}$?

1) Чтобы найти точку пересечения графиков функций $f(x) = 0,4x + 3,1$ и $g(x) = -0,8x + 3,6$, нужно приравнять их друг к другу, то есть решить уравнение $f(x) = g(x)$.
$0,4x + 3,1 = -0,8x + 3,6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$0,4x + 0,8x = 3,6 - 3,1$
$1,2x = 0,5$
$x = \frac{0,5}{1,2} = \frac{5}{12}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение одной из функций, например, в $f(x)$:
$y = 0,4 \cdot (\frac{5}{12}) + 3,1 = \frac{4}{10} \cdot \frac{5}{12} + 3,1 = \frac{2}{12} + 3,1 = \frac{1}{6} + 3,1$
Мы получили координаты точки пересечения: $x = \frac{5}{12}$ и $y = \frac{1}{6} + 3,1$.
Так как $x = \frac{5}{12} > 0$ и $y = \frac{1}{6} + 3,1 > 0$, точка пересечения расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в I координатной четверти.

2) Чтобы найти точку пересечения графиков функций $f(x) = -0,8x + 3,5$ и $g(x) = \sqrt{x+5}$, решим уравнение $f(x) = g(x)$.
$-0,8x + 3,5 = \sqrt{x+5}$
Определим область допустимых значений. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$. Во-вторых, значение квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $-0,8x + 3,5 \ge 0$, что равносильно $3,5 \ge 0,8x$, или $x \le \frac{3,5}{0,8} = 4,375$. Таким образом, искомый $x$ должен лежать в промежутке $[-5; 4,375]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(-0,8x + 3,5)^2 = (\sqrt{x+5})^2$
$0,64x^2 - 2 \cdot 0,8x \cdot 3,5 + 3,5^2 = x+5$
$0,64x^2 - 5,6x + 12,25 = x+5$
$0,64x^2 - 6,6x + 7,25 = 0$
Для удобства умножим уравнение на 100: $64x^2 - 660x + 725 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-660)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 725 = 435600 - 185600 = 250000$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{660 \pm \sqrt{250000}}{2 \cdot 64} = \frac{660 \pm 500}{128}$.
$x_1 = \frac{660 + 500}{128} = \frac{1160}{128} = \frac{145}{16} = 9,0625$. Этот корень не входит в область допустимых значений ($9,0625 > 4,375$), поэтому он является посторонним.
$x_2 = \frac{660 - 500}{128} = \frac{160}{128} = \frac{5}{4} = 1,25$. Этот корень удовлетворяет условию $x \in [-5; 4,375]$.
Найдем координату $y$, подставив $x = 1,25$ в уравнение для $g(x)$:
$y = \sqrt{1,25+5} = \sqrt{6,25} = 2,5$.
Координаты точки пересечения $(1,25; 2,5)$.
Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, точка пересечения расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в I координатной четверти.

3) Чтобы найти точку(и) пересечения графиков функций $f(x) = 0,2x - 1,2$ и $g(x) = \frac{1}{x}$, решим уравнение $f(x) = g(x)$.
$0,2x - 1,2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$x(0,2x - 1,2) = 1$
$0,2x^2 - 1,2x - 1 = 0$
Умножим уравнение на 10 для избавления от дробей: $2x^2 - 12x - 10 = 0$.
Разделим на 2: $x^2 - 6x - 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$.
В данном случае мы получили два значения $x$, что означает наличие двух точек пересечения.
1. Первая точка: $x_1 = 3 + \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14}$ — положительное число, $x_1 > 0$. Найдем $y_1 = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{3+\sqrt{14}}$. Поскольку $x_1 > 0$, то и $y_1 > 0$. Значит, эта точка $(x_1, y_1)$ лежит в I координатной четверти.
2. Вторая точка: $x_2 = 3 - \sqrt{14}$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{14})^2=14$, то $3 < \sqrt{14}$. Следовательно, $x_2 = 3 - \sqrt{14} < 0$. Найдем $y_2 = \frac{1}{x_2} = \frac{1}{3-\sqrt{14}}$. Поскольку $x_2 < 0$, то и $y_2 < 0$. Значит, эта точка $(x_2, y_2)$ лежит в III координатной четверти.
Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.
Ответ: в I и III координатных четвертях.