Номер 9.29, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.29. Найдите корни квадратного трехчлена и проверьте решение с помощью теоремы Виета:

1) $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1;$2) $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1;$

3) $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2;$4) $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}.$

1) Рассмотрим квадратный трехчлен $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1$.

Чтобы найти его корни, решим уравнение $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1 = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$7 \cdot \left(\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1\right) = 7 \cdot 0$

$3x^2 - 15x - 7 = 0$.

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-15$, $c=-7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 225 + 84 = 309$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{15 + \sqrt{309}}{6}$

$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{15 - \sqrt{309}}{6}$

Теперь выполним проверку с помощью теоремы Виета. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Для исходного уравнения $\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1 = 0$ коэффициенты равны $a = \frac{3}{7}$, $b = -\frac{15}{7}$, $c = -1$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-15/7}{3/7} = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3/7} = -1 \cdot \frac{7}{3} = -\frac{7}{3}$.

Проверим найденные нами корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{15 + \sqrt{309}}{6} + \frac{15 - \sqrt{309}}{6} = \frac{15 + \sqrt{309} + 15 - \sqrt{309}}{6} = \frac{30}{6} = 5$. Результат совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{15 + \sqrt{309}}{6}\right) \cdot \left(\frac{15 - \sqrt{309}}{6}\right) = \frac{15^2 - (\sqrt{309})^2}{6^2} = \frac{225 - 309}{36} = \frac{-84}{36} = -\frac{7}{3}$. Результат совпадает.

Ответ: $\frac{15 + \sqrt{309}}{6}; \frac{15 - \sqrt{309}}{6}$.

2) Рассмотрим квадратный трехчлен $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1$.

Найдем его корни, решив уравнение $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1 = 0$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{5}x^2 - \frac{14}{5}x + 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 5:

$2x^2 - 14x + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-14$, $c=5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 196 - 40 = 156$.

Так как $D > 0$, есть два действительных корня. $\sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$.

$x_1 = \frac{-(-14) + 2\sqrt{39}}{2 \cdot 2} = \frac{14 + 2\sqrt{39}}{4} = \frac{7 + \sqrt{39}}{2}$

$x_2 = \frac{-(-14) - 2\sqrt{39}}{2 \cdot 2} = \frac{14 - 2\sqrt{39}}{4} = \frac{7 - \sqrt{39}}{2}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $\frac{2}{5}x^2 - \frac{14}{5}x + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = \frac{2}{5}$, $b = -\frac{14}{5}$, $c = 1$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-14/5}{2/5} = \frac{14}{2} = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{7 + \sqrt{39}}{2} + \frac{7 - \sqrt{39}}{2} = \frac{7 + \sqrt{39} + 7 - \sqrt{39}}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{7 + \sqrt{39}}{2}\right) \cdot \left(\frac{7 - \sqrt{39}}{2}\right) = \frac{7^2 - (\sqrt{39})^2}{2^2} = \frac{49 - 39}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Совпадает.

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{39}}{2}; \frac{7 - \sqrt{39}}{2}$.

3) Рассмотрим квадратный трехчлен $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2$.

Найдем его корни, решив уравнение $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -7, чтобы избавиться от дробей и сделать старший коэффициент положительным:

$-7 \cdot \left(-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2\right) = -7 \cdot 0$

$2x^2 - x - 14 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-14$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 1 + 112 = 113$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{113}}{4}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{113}}{4}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a = -\frac{2}{7}$, $b = \frac{1}{7}$, $c = 2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/7}{-2/7} = \frac{1}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-2/7} = -7$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{1 + \sqrt{113}}{4} + \frac{1 - \sqrt{113}}{4} = \frac{1 + \sqrt{113} + 1 - \sqrt{113}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{113}}{4}\right) \cdot \left(\frac{1 - \sqrt{113}}{4}\right) = \frac{1^2 - (\sqrt{113})^2}{4^2} = \frac{1 - 113}{16} = \frac{-112}{16} = -7$. Совпадает.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{113}}{4}; \frac{1 - \sqrt{113}}{4}$.

4) Рассмотрим квадратный трехчлен $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}$.

Найдем его корни, решив уравнение $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} = 0$.

Умножим обе части уравнения на -15 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, взятое с отрицательным знаком):

$-15 \cdot \left(-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}\right) = -15 \cdot 0$

$3x^2 + 5x - 9 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=5$, $c=-9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 25 + 108 = 133$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{133}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + \sqrt{133}}{6}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{133}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - \sqrt{133}}{6}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} = 0$.

Коэффициенты: $a = -\frac{1}{5}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = \frac{3}{5}$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1/3}{-1/5} = -\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{1}\right) = -\frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3/5}{-1/5} = -3$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{-5 + \sqrt{133}}{6} + \frac{-5 - \sqrt{133}}{6} = \frac{-5 + \sqrt{133} - 5 - \sqrt{133}}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-5 + \sqrt{133}}{6}\right) \cdot \left(\frac{-5 - \sqrt{133}}{6}\right) = \frac{(-5)^2 - (\sqrt{133})^2}{6^2} = \frac{25 - 133}{36} = \frac{-108}{36} = -3$. Совпадает.

Ответ: $\frac{-5 + \sqrt{133}}{6}; \frac{-5 - \sqrt{133}}{6}$.