Номер 9.31, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.31*. При каких значениях параметра $a$ имеют общий корень двучлены:

1) $x^2 + ax$ и $x^2 - 9$;

2) $x^2 - a$ и $x^2 + 6x$;

3) $2x^2 + 3ax$ и $4x^2 - 9$?

1) $x^2 + ax$ и $x^2 - 9$

Пусть $x_0$ – общий корень данных двучленов. Это означает, что при подстановке $x_0$ в оба выражения, они оба обращаются в ноль. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x_0^2 + ax_0 = 0 \\ x_0^2 - 9 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения находим возможные значения общего корня $x_0$:
$x_0^2 - 9 = 0$
$x_0^2 = 9$
$x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.

Теперь рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения параметра $a$.

Случай 1: $x_0 = 3$.
Подставляем в первое уравнение: $3^2 + a \cdot 3 = 0$
$9 + 3a = 0$
$3a = -9$
$a = -3$.

Случай 2: $x_0 = -3$.
Подставляем в первое уравнение: $(-3)^2 + a \cdot (-3) = 0$
$9 - 3a = 0$
$3a = 9$
$a = 3$.

Таким образом, двучлены имеют общий корень при $a = 3$ и $a = -3$.

Ответ: $a = -3$ или $a = 3$.

2) $x^2 - a$ и $x^2 + 6x$

Пусть $x_0$ – общий корень. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x_0^2 - a = 0 \\ x_0^2 + 6x_0 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения найдем возможные значения $x_0$:
$x_0(x_0 + 6) = 0$
$x_0 = 0$ или $x_0 = -6$.

Рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение $x_0^2 - a = 0$ (или $a = x_0^2$).

Случай 1: $x_0 = 0$.
$a = 0^2$
$a = 0$.

Случай 2: $x_0 = -6$.
$a = (-6)^2$
$a = 36$.

Следовательно, двучлены имеют общий корень при $a = 0$ и $a = 36$.

Ответ: $a = 0$ или $a = 36$.

3) $2x^2 + 3ax$ и $4x^2 - 9$

Пусть $x_0$ – общий корень. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x_0^2 + 3ax_0 = 0 \\ 4x_0^2 - 9 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения найдем возможные значения $x_0$:
$4x_0^2 = 9$
$x_0^2 = \frac{9}{4}$
$x_0 = \frac{3}{2}$ или $x_0 = -\frac{3}{2}$.

Рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение.

Случай 1: $x_0 = \frac{3}{2}$.
$2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3a\left(\frac{3}{2}\right) = 0$
$2\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9}{2} + \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9a}{2} = -\frac{9}{2}$
$a = -1$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{3}{2}$.
$2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3a\left(-\frac{3}{2}\right) = 0$
$2\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9}{2} - \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9a}{2} = \frac{9}{2}$
$a = 1$.

Следовательно, двучлены имеют общий корень при $a = -1$ и $a = 1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 1$.