Номер 9.27, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.27. 1) $\frac{-x^2 - 5x - 4}{x^2 + 8x + 16}$;

2) $\frac{5x^2 + x}{3 - 10x^2 + 13x}$;

3) $\frac{5x^2 + 8x + 3}{14 - 11x^2 + 3x}$;

4) $\frac{9x^2 - 1}{6x^2 + x - 1}$.

1) Для упрощения дроби $ \frac{-x^2 - 5x - 4}{x^2 + 8x + 16} $ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $ -x^2 - 5x - 4 $. Вынесем $ -1 $ за скобку: $ -(x^2 + 5x + 4) $. Для разложения квадратного трехчлена $ x^2 + 5x + 4 $ найдем его корни, решив уравнение $ x^2 + 5x + 4 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -5 $, а их произведение равно $ 4 $. Легко подобрать корни: $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = -1 $. Тогда разложение имеет вид $ a(x-x_1)(x-x_2) $, то есть $ 1 \cdot (x - (-4))(x - (-1)) = (x+4)(x+1) $. Таким образом, числитель равен $ -(x+4)(x+1) $.

Разложим знаменатель $ x^2 + 8x + 16 $. Это выражение является полным квадратом суммы, так как $ x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2 $.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{-(x+4)(x+1)}{(x+4)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+4) $, при условии, что $ x+4 \neq 0 $, то есть $ x \neq -4 $.

$ \frac{-(x+1)}{x+4} = -\frac{x+1}{x+4} $

Ответ: $ -\frac{x+1}{x+4} $

2) Упростим дробь $ \frac{5x^2 + x}{3 - 10x^2 + 13x} $.

В числителе $ 5x^2 + x $ вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $ x(5x + 1) $.

Знаменатель $ 3 - 10x^2 + 13x $ перепишем в стандартном виде $ -10x^2 + 13x + 3 $. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $ -10x^2 + 13x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(-10)(3) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $. Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-13 - 17}{2(-10)} = \frac{-30}{-20} = \frac{3}{2} $ и $ x_2 = \frac{-13 + 17}{2(-10)} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5} $. Разложение знаменателя: $ -10(x - \frac{3}{2})(x - (-\frac{1}{5})) = -10(x - \frac{3}{2})(x + \frac{1}{5}) = -2 \cdot 5 \cdot (x - \frac{3}{2})(x + \frac{1}{5}) = -(2x-3)(5x+1) = (3-2x)(5x+1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{x(5x+1)}{(3-2x)(5x+1)} $

Сократим на общий множитель $ (5x+1) $ при условии, что $ 5x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -\frac{1}{5} $.

$ \frac{x}{3-2x} $

Ответ: $ \frac{x}{3-2x} $

3) Упростим дробь $ \frac{5x^2 + 8x + 3}{14 - 11x^2 + 3x} $.

Разложим на множители числитель $ 5x^2 + 8x + 3 $. Решим уравнение $ 5x^2 + 8x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4 = 2^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $ и $ x_2 = \frac{-8 + 2}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5} $. Разложение числителя: $ 5(x - (-1))(x - (-\frac{3}{5})) = 5(x+1)(x+\frac{3}{5}) = (x+1)(5x+3) $.

Разложим знаменатель $ 14 - 11x^2 + 3x = -11x^2 + 3x + 14 $. Решим уравнение $ -11x^2 + 3x + 14 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-11)(14) = 9 + 616 = 625 = 25^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3 - 25}{2(-11)} = \frac{-28}{-22} = \frac{14}{11} $ и $ x_2 = \frac{-3 + 25}{-22} = \frac{22}{-22} = -1 $. Разложение знаменателя: $ -11(x - \frac{14}{11})(x - (-1)) = -(11x-14)(x+1) = (14-11x)(x+1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(x+1)(5x+3)}{(14-11x)(x+1)} $

Сократим на общий множитель $ (x+1) $ при условии, что $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $.

$ \frac{5x+3}{14-11x} $

Ответ: $ \frac{5x+3}{14-11x} $

4) Упростим дробь $ \frac{9x^2 - 1}{6x^2 + x - 1} $.

Числитель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов: $ (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1) $.

Разложим на множители знаменатель $ 6x^2 + x - 1 $. Решим уравнение $ 6x^2 + x - 1 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $. Разложение знаменателя: $ 6(x - (-\frac{1}{2}))(x - \frac{1}{3}) = 6(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3}) = 2(x+\frac{1}{2}) \cdot 3(x-\frac{1}{3}) = (2x+1)(3x-1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(3x-1)(3x+1)}{(2x+1)(3x-1)} $

Сократим на общий множитель $ (3x-1) $ при условии, что $ 3x-1 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{1}{3} $.

$ \frac{3x+1}{2x+1} $

Ответ: $ \frac{3x+1}{2x+1} $