Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите дроби (9.18—9.19):

9.18. 1) $ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} $;

2) $ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} $;

3) $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $;

4) $ \frac{2 + 3a}{3a^2 - 13a - 10} $.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} $, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $ a^2 - a - 56 = 0 $.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $ a_1 + a_2 = -(-1) = 1 $, а их произведение $ a_1 \cdot a_2 = -56 $. Подбором находим корни: $ a_1 = 8 $ и $ a_2 = -7 $.

Таким образом, числитель можно представить в виде: $ a^2 - a - 56 = (a - 8)(a - (-7)) = (a - 8)(a + 7) $.

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} = \frac{(a - 8)(a + 7)}{a - 8} $

Сократим общий множитель $ (a - 8) $ (при условии, что $ a \neq 8 $):

$ \frac{\cancel{(a - 8)}(a + 7)}{\cancel{a - 8}} = a + 7 $

Ответ: $ a + 7 $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} $, разложим на множители числитель, решив квадратное уравнение $ a^2 + 6a - 27 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней $ a_1 + a_2 = -6 $, а их произведение $ a_1 \cdot a_2 = -27 $. Отсюда находим корни: $ a_1 = -9 $ и $ a_2 = 3 $.

Разложим числитель на множители: $ a^2 + 6a - 27 = (a - (-9))(a - 3) = (a + 9)(a - 3) $.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} = \frac{(a + 9)(a - 3)}{a + 9} $

Сократим общий множитель $ (a + 9) $ (при условии, что $ a \neq -9 $):

$ \frac{\cancel{(a + 9)}(a - 3)}{\cancel{a + 9}} = a - 3 $

Ответ: $ a - 3 $.

3) Рассмотрим дробь $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя: $ a^2 + 6a = a(a + 6) $.

Для разложения знаменателя $ 2a^2 + 7a + 3 $ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 2a^2 + 7a + 3 = 0 $.

Вычислим дискриминант: $ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

Найдем корни: $ a_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $; $ a_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $.

Разложение знаменателя: $ 2a^2 + 7a + 3 = 2(a - (-3))(a - (-\frac{1}{2})) = 2(a + 3)(a + \frac{1}{2}) = (a + 3)(2a + 1) $.

Теперь дробь имеет вид: $ \frac{a(a + 6)}{(a + 3)(2a + 1)} $.

Поскольку у числителя и знаменателя нет общих множителей, данная дробь не может быть сокращена.

Ответ: $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{2 + 3a}{3a^2 - 13a - 10} $, разложим на множители знаменатель, решив уравнение $ 3a^2 - 13a - 10 = 0 $.

Вычислим дискриминант: $ D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $.

Найдем корни: $ a_1 = \frac{13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $; $ a_2 = \frac{13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $.

Разложение знаменателя: $ 3a^2 - 13a - 10 = 3(a - (-\frac{2}{3}))(a - 5) = 3(a + \frac{2}{3})(a - 5) = (3a + 2)(a - 5) $.

Подставим разложение в дробь, заметив, что $ 2 + 3a = 3a + 2 $:

$ \frac{3a + 2}{(3a + 2)(a - 5)} $

Сократим общий множитель $ (3a + 2) $ (при условии, что $ a \neq -\frac{2}{3} $):

$ \frac{\cancel{3a + 2}}{\cancel{(3a + 2)}(a - 5)} = \frac{1}{a - 5} $

Ответ: $ \frac{1}{a - 5} $.

9.19. 1) $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8}$;

2) $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4}$;

3) $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4}$;

4) $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8}$, разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $7a^2 + a - 8 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225 = 15^2$. Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$. $a_2 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$. Используя формулу разложения квадратного трехчлена $Ax^2+Bx+C=A(x-x_1)(x-x_2)$, получаем: $7a^2 + a - 8 = 7(a - 1)(a - (-\frac{8}{7})) = 7(a - 1)(a + \frac{8}{7}) = (a - 1)(7a + 8)$. Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8} = \frac{a - 1}{(a - 1)(7a + 8)}$. Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что $a \neq 1$: $\frac{\cancel{a - 1}}{(\cancel{a - 1})(7a + 8)} = \frac{1}{7a + 8}$.
Ответ: $\frac{1}{7a + 8}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4}$. Разложим на множители знаменатель $3a^2 + 4a - 4$. Решим уравнение $3a^2 + 4a - 4 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$. $a_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Знаменатель раскладывается на множители: $3a^2 + 4a - 4 = 3(a - (-2))(a - \frac{2}{3}) = 3(a+2)(a - \frac{2}{3}) = (a+2)(3a-2)$. Подставим в дробь: $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4} = \frac{3a - 2}{(a+2)(3a - 2)}$. Сократим на общий множитель $(3a - 2)$, при условии, что $a \neq \frac{2}{3}$: $\frac{\cancel{3a - 2}}{(a+2)(\cancel{3a - 2})} = \frac{1}{a + 2}$.
Ответ: $\frac{1}{a + 2}$.

3) Сократим дробь $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4}$. Разложим числитель на множители: $a^2 - 4a = a(a - 4)$. Разложим знаменатель на множители, решив уравнение $2a^2 - 7a - 4 = 0$. Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-7) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. $a_2 = \frac{-(-7) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Разложение знаменателя: $2a^2 - 7a - 4 = 2(a - 4)(a - (-\frac{1}{2})) = 2(a - 4)(a + \frac{1}{2}) = (a - 4)(2a + 1)$. Подставим в дробь: $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4} = \frac{a(a - 4)}{(a - 4)(2a + 1)}$. Сократим на общий множитель $(a - 4)$, при условии, что $a \neq 4$: $\frac{a(\cancel{a - 4})}{(\cancel{a - 4})(2a + 1)} = \frac{a}{2a + 1}$.
Ответ: $\frac{a}{2a + 1}$.

4) Сократим дробь $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 8}$. (Примечание: в знаменателе предполагается $2a^2 - 8a + 8$, так как это приводит к сокращению, что типично для задач такого типа. При знаменателе $2a^2-8a+4$ дробь не сокращается). Разложим на множители числитель: $2a - a^2 = a(2 - a) = -a(a - 2)$. Разложим на множители знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^2 - 8a + 8 = 2(a^2 - 4a + 4)$. Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$. Таким образом, знаменатель равен $2(a - 2)^2$. Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 8} = \frac{-a(a - 2)}{2(a - 2)^2}$. Сократим на общий множитель $(a-2)$, при условии, что $a \neq 2$: $\frac{-a(\cancel{a - 2})}{2(a - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{-a}{2(a - 2)}$. Этот результат также можно записать в виде $\frac{a}{2(2 - a)}$.
Ответ: $\frac{-a}{2(a - 2)}$.

Разложите на множители выражения (9.20—9.24):

9.20. 1) $14y + 5y^2 - y^3$;

2) $-35y + 2y^2 + y^3$;

3) $-20y + y^2 + y^3$;

4) $14y + 3y^2 - 11y^3$.

1) Разложим на множители выражение $14y + 5y^2 - y^3$.
Сначала вынесем общий множитель $y$ за скобки:$y(14 + 5y - y^2)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $14 + 5y - y^2$. Для этого найдем корни уравнения $-y^2 + 5y + 14 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить стандартный вид:$y^2 - 5y - 14 = 0$.
Найдем корни с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $5$, а произведение равно $-14$. Подбором находим корни: $y_1 = 7$ и $y_2 = -2$.
Разложение для $y^2 - 5y - 14$ имеет вид $(y - 7)(y - (-2)) = (y - 7)(y + 2)$.
Следовательно, для $-y^2 + 5y + 14$ разложение будет $-(y - 7)(y + 2) = (7 - y)(y + 2)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(7 - y)(y + 2)$.
Ответ: $y(7-y)(y+2)$.

2) Разложим на множители выражение $-35y + 2y^2 + y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки и упорядочим слагаемые:$y(y^2 + 2y - 35)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + 2y - 35$, решив уравнение $y^2 + 2y - 35 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-35$. Корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -7$.
Следовательно, разложение трехчлена: $(y - 5)(y - (-7)) = (y - 5)(y + 7)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(y - 5)(y + 7)$.
Ответ: $y(y+7)(y-5)$.

3) Разложим на множители выражение $-20y + y^2 + y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки и упорядочим слагаемые:$y(y^2 + y - 20)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $y^2 + y - 20$, решив уравнение $y^2 + y - 20 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Следовательно, разложение трехчлена: $(y - 4)(y - (-5)) = (y - 4)(y + 5)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(y - 4)(y + 5)$.
Ответ: $y(y+5)(y-4)$.

4) Разложим на множители выражение $14y + 3y^2 - 11y^3$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:$y(14 + 3y - 11y^2)$.
Разложим на множители квадратный трехчлен $-11y^2 + 3y + 14$, решив уравнение $-11y^2 + 3y + 14 = 0$.
Умножим на $-1$: $11y^2 - 3y - 14 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625$.
Найдем корни уравнения:$y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{625}}{2 \cdot 11} = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{625}}{2 \cdot 11} = \frac{3 - 25}{22} = \frac{-22}{22} = -1$.
Разложение для $11y^2 - 3y - 14$ имеет вид $11(y - \frac{14}{11})(y - (-1)) = (11y - 14)(y + 1)$.
Следовательно, для $-11y^2 + 3y + 14$ разложение будет $-(11y - 14)(y + 1) = (14 - 11y)(y + 1)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители: $y(14 - 11y)(y + 1)$.
Ответ: $y(14-11y)(y+1)$.

9.21.

1) $2a^3 + 5a^2 + 2a;$

2) $a^3 - a^2 - 42a;$

3) $-6a^3 + 13a^2 - 6a;$

4) $-9a^3 + 12a^2 - 4a.$

1) Для разложения многочлена $2a^3 + 5a^2 + 2a$ на множители, сначала вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(2a^2 + 5a + 2)$. Затем разложим на множители квадратный трехчлен $2a^2 + 5a + 2$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2a^2 + 5a + 2 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения равны: $a_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ и $a_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$. Разложение квадратного трехчлена имеет вид $2(a - a_1)(a - a_2) = 2(a - (-\frac{1}{2}))(a - (-2)) = 2(a + \frac{1}{2})(a + 2) = (2a + 1)(a + 2)$. Итоговое разложение всего выражения: $a(2a + 1)(a + 2)$. Ответ: $a(a+2)(2a+1)$.

2) В выражении $a^3 - a^2 - 42a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки, получим $a(a^2 - a - 42)$. Далее разложим на множители квадратный трехчлен $a^2 - a - 42$. Для этого решим уравнение $a^2 - a - 42 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а их произведение равно $-42$. Этими числами являются $7$ и $-6$. Таким образом, $a_1=7$, $a_2=-6$. Разложение квадратного трехчлена: $(a-7)(a-(-6)) = (a-7)(a+6)$. Итоговое разложение всего выражения: $a(a-7)(a+6)$. Ответ: $a(a+6)(a-7)$.

3) Для разложения многочлена $-6a^3 + 13a^2 - 6a$ на множители, вынесем за скобки общий множитель $-a$: $-a(6a^2 - 13a + 6)$. Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $6a^2 - 13a + 6$. Найдем корни уравнения $6a^2 - 13a + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $a_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. Разложение квадратного трехчлена: $6(a - \frac{3}{2})(a - \frac{2}{3}) = 2 \cdot 3 \cdot (a - \frac{3}{2})(a - \frac{2}{3}) = (2(a - \frac{3}{2}))(3(a - \frac{2}{3})) = (2a - 3)(3a - 2)$. Итоговое разложение всего выражения: $-a(2a - 3)(3a - 2)$. Ответ: $-a(2a-3)(3a-2)$.

4) В выражении $-9a^3 + 12a^2 - 4a$ вынесем общий множитель $-a$ за скобки: $-a(9a^2 - 12a + 4)$. Выражение в скобках $9a^2 - 12a + 4$ является формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=3a$ и $y=2$. Проверяем: $(3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$. Таким образом, $9a^2 - 12a + 4 = (3a - 2)^2$. Итоговое разложение всего выражения: $-a(3a - 2)^2$. Ответ: $-a(3a-2)^2$.

9.22. 1) $2x^3 - 5x^2 - 7x;$

2) $-2x^3 + 5x^2 + 7x;$

3) $-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x;$

4) $-6x^3 + 7x^2 - 2x.$

1) Для разложения на множители многочлена $2x^3 - 5x^2 - 7x$ первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$2x^3 - 5x^2 - 7x = x(2x^2 - 5x - 7)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2 - 5x - 7$. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 - 5x - 7 = 2(x - \frac{7}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{7}{2})(x + 1)$

Чтобы избавиться от дроби, умножим первый двучлен на 2:

$(2x - 7)(x + 1)$

Объединим все множители и получим окончательный результат:

Ответ: $x(2x - 7)(x + 1)$.

2) Для разложения на множители многочлена $-2x^3 + 5x^2 + 7x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки. Это позволит получить в скобках выражение с положительным старшим коэффициентом.

$-2x^3 + 5x^2 + 7x = -x(2x^2 - 5x - 7)$

Выражение в скобках, $2x^2 - 5x - 7$, полностью совпадает с квадратным трехчленом из предыдущего пункта. Мы уже нашли его разложение на множители: $(2x - 7)(x + 1)$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$-x(2x - 7)(x + 1)$

Ответ: $-x(2x - 7)(x + 1)$.

3) Для разложения на множители многочлена $-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки.

$-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x = -x(2x^2 - 2x + \frac{1}{4})$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + \frac{1}{4}$, решив уравнение $2x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 4 - 2 = 2$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.

Разложим квадратный трехчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$-x \left[ 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}) \right] = -2x(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$

Ответ: $-2x(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.

4) Для разложения на множители многочлена $-6x^3 + 7x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки.

$-6x^3 + 7x^2 - 2x = -x(6x^2 - 7x + 2)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $6x^2 - 7x + 2$ через решение уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Разложим квадратный трехчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$6x^2 - 7x + 2 = 6(x - \frac{2}{3})(x - \frac{1}{2})$

Для упрощения представим множитель 6 как $3 \cdot 2$ и внесем каждый из множителей в соответствующую скобку:

$3(x - \frac{2}{3}) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (3x - 2)(2x - 1)$

Запишем окончательное разложение исходного многочлена:

$-x(3x - 2)(2x - 1)$

Ответ: $-x(3x - 2)(2x - 1)$.

9.23. 1) $x^2 \cdot (x-5)^3 - 36x + 180$;

2) $81(x-1)^3 + 4x^4 - 4x^5$.

1)

Требуется разложить на множители выражение $x^2 \cdot (x-5)^3 - 36x + 180$.

Сначала сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель за скобки:

$-36x + 180 = -36(x - 5)$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$x^2(x-5)^3 - 36(x-5)$.

Мы видим общий множитель $(x-5)$, который можно вынести за скобки:

$(x-5)(x^2(x-5)^2 - 36)$.

Выражение во второй скобке, $x^2(x-5)^2 - 36$, является разностью квадратов. Его можно представить в виде $a^2 - b^2$, где $a = x(x-5)$ и $b=6$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2(x-5)^2 - 36 = (x(x-5))^2 - 6^2 = (x(x-5) - 6)(x(x-5) + 6)$.

Раскроем скобки внутри каждого из полученных множителей:

Первый множитель: $x(x-5) - 6 = x^2 - 5x - 6$.

Второй множитель: $x(x-5) + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Теперь необходимо разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для трехчлена $x^2 - 5x - 6$, по теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $5$. Это числа $6$ и $-1$. Следовательно:

$x^2 - 5x - 6 = (x-6)(x+1)$.

Для трехчлена $x^2 - 5x + 6$, по теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $5$. Это числа $2$ и $3$. Следовательно:

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Собираем все множители вместе, чтобы получить окончательное разложение:

$(x-5)(x-6)(x+1)(x-2)(x-3)$.

Расположим множители в порядке возрастания корней для удобства:

$(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)$.

Ответ: $(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)$.

2)

Требуется разложить на множители выражение $81(x-1)^3 + 4x^4 - 4x^5$.

Вынесем общий множитель из последних двух слагаемых:

$4x^4 - 4x^5 = 4x^4(1-x)$.

Так как $(1-x) = -(x-1)$, то выражение можно переписать как $-4x^4(x-1)$.

Подставим это в исходное выражение:

$81(x-1)^3 - 4x^4(x-1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)[81(x-1)^2 - 4x^4]$.

Выражение в квадратных скобках представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 9(x-1)$ и $b=2x^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$[9(x-1) - 2x^2][9(x-1) + 2x^2]$.

Раскроем скобки в каждом из полученных множителей:

Первый множитель: $9(x-1) - 2x^2 = 9x - 9 - 2x^2 = -2x^2 + 9x - 9$.

Второй множитель: $9(x-1) + 2x^2 = 9x - 9 + 2x^2 = 2x^2 + 9x - 9$.

Полное выражение теперь выглядит так: $(x-1)(-2x^2 + 9x - 9)(2x^2 + 9x - 9)$.

Из первого квадратного трехчлена вынесем знак минус: $-2x^2 + 9x - 9 = -(2x^2 - 9x + 9)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $2x^2 - 9x + 9$. Для этого найдем его корни. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{9+3}{4} = 3$; $x_2 = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 9x + 9 = 2(x-3)(x-\frac{3}{2}) = (x-3)(2x-3)$.

Для трехчлена $2x^2 + 9x - 9$ дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 81 + 72 = 153$. Так как корень из $153$ иррационален, этот множитель не раскладывается на множители с целыми или рациональными коэффициентами, поэтому оставим его в исходном виде.

Соберем все множители вместе, учитывая вынесенный знак минус:

$-(x-1)(x-3)(2x-3)(2x^2+9x-9)$.

Ответ: $-(x-1)(x-3)(2x-3)(2x^2+9x-9)$.

9.24. 1) $a^3 + 9a^2 - 4a - 36;$

2) $a^4 - 2a^3 + a^2 - 36.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $a^3 + 9a^2 - 4a - 36$, применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.
$a^3 + 9a^2 - 4a - 36 = (a^3 + 9a^2) + (-4a - 36)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a^2$, а во второй группе вынесем $-4$.
$a^2(a + 9) - 4(a + 9)$
Теперь у нас есть общий множитель $(a + 9)$, который мы также можем вынести за скобки.
$(a + 9)(a^2 - 4)$
Второе выражение в скобках, $a^2 - 4$, является разностью квадратов, так как $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$(a + 9)(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $(a - 2)(a + 2)(a + 9)$

2) Рассмотрим многочлен $a^4 - 2a^3 + a^2 - 36$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат.
$(a^4 - 2a^3 + a^2) - 36$
Вынесем за скобки $a^2$ из сгруппированных слагаемых.
$a^2(a^2 - 2a + 1) - 36$
Выражение в скобках $a^2 - 2a + 1$ является полным квадратом разности $(a - 1)^2$.
$a^2(a - 1)^2 - 36$
Это выражение можно представить в виде разности квадратов, где первое слагаемое — это $(a(a-1))^2$, а второе — $6^2$.
$(a(a-1))^2 - 6^2$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(a(a-1) - 6)(a(a-1) + 6)$
Теперь раскроем скобки внутри каждого из полученных множителей.
$(a^2 - a - 6)(a^2 - a + 6)$
Первый множитель $a^2 - a - 6$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корни — это 3 и -2. Значит, его можно разложить на множители:
$a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2)$
Второй множитель $a^2 - a + 6$ — также квадратный трехчлен. Его дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Так как дискриминант отрицательный, этот трехчлен не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.
Следовательно, окончательное разложение многочлена:
$(a - 3)(a + 2)(a^2 - a + 6)$
Ответ: $(a - 3)(a + 2)(a^2 - a + 6)$

Сократите дроби (9.25–9.27):

9.25. 1)
$\frac{a^2 - 9}{5a^2 - 13a - 6}$;

2) $\frac{4 - a^2}{7a^2 - 9a - 10}$;

3) $\frac{(a - 1)^2 - 1}{3a^2 - 11a + 10}$;

4) $\frac{a^2 - 8a - 9}{a^2 - 6a - 27}$.

1) $\frac{a^2 - 9}{5a^2 - 13a - 6}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

Разложим знаменатель, который является квадратным трехчленом $5a^2 - 13a - 6$. Для этого найдем корни уравнения $5a^2 - 13a - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$;

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда разложение трехчлена имеет вид: $5(a - 3)(a - (-\frac{2}{5})) = 5(a - 3)(a + \frac{2}{5}) = (a - 3)(5a + 2)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{(a-3)(a+3)}{(a-3)(5a+2)}$

Сократим общий множитель $(a-3)$:

$\frac{a+3}{5a+2}$

Ответ: $\frac{a+3}{5a+2}$

2) $\frac{4 - a^2}{7a^2 - 9a - 10}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$.

Разложим знаменатель, найдя корни уравнения $7a^2 - 9a - 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-10) = 81 + 280 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{9 + 19}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$;

$a_2 = \frac{9 - 19}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$.

Разложение знаменателя: $7(a - 2)(a - (-\frac{5}{7})) = 7(a - 2)(a + \frac{5}{7}) = (a - 2)(7a + 5)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{-(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)(7a + 5)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$-\frac{a+2}{7a+5}$

Ответ: $-\frac{a+2}{7a+5}$

3) $\frac{(a - 1)^2 - 1}{3a^2 - 11a + 10}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$(a - 1)^2 - 1 = (a - 1 - 1)(a - 1 + 1) = (a - 2)a$.

Разложим знаменатель, найдя корни уравнения $3a^2 - 11a + 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1 = 1^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;

$a_2 = \frac{11 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Разложение знаменателя: $3(a - 2)(a - \frac{5}{3}) = (a - 2)(3a - 5)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{a(a - 2)}{(a - 2)(3a - 5)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{a}{3a - 5}$

Ответ: $\frac{a}{3a - 5}$

4) $\frac{a^2 - 8a - 9}{a^2 - 6a - 27}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $a^2 - 8a - 9 = 0$ найдем корни. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = 8$, $a_1 \cdot a_2 = -9$. Корни: $a_1 = 9$, $a_2 = -1$.

Разложение числителя: $(a - 9)(a - (-1)) = (a - 9)(a + 1)$.

Для знаменателя $a^2 - 6a - 27 = 0$ найдем корни. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = 6$, $a_1 \cdot a_2 = -27$. Корни: $a_1 = 9$, $a_2 = -3$.

Разложение знаменателя: $(a - 9)(a - (-3)) = (a - 9)(a + 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(a - 9)(a + 1)}{(a - 9)(a + 3)}$

Сократим общий множитель $(a - 9)$:

$\frac{a + 1}{a + 3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a+3}$

9.26. 1) $ \frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33} $;

2) $ \frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} $;

3) $ \frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21} $;

4) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Рассмотрим числитель: $x^2 - 9x - 22$.

Решим уравнение $x^2 - 9x - 22 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, $x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x - (-2)) = (x - 11)(x + 2)$.

Рассмотрим знаменатель: $x^2 - 8x - 33$.

Решим уравнение $x^2 - 8x - 33 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, $x^2 - 8x - 33 = (x - 11)(x - (-3)) = (x - 11)(x + 3)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь и сократим:

$\frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33} = \frac{(x - 11)(x + 2)}{(x - 11)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3}$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x + 3}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $x^2 - 8x + 15$.

Решим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Таким образом, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Рассмотрим знаменатель: $-x^2 + 5x - 6$.

Вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.

Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, а знаменатель равен $-(x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} = \frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)} = \frac{x - 5}{-(x - 2)} = -\frac{x - 5}{x - 2} = \frac{5 - x}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{5 - x}{x - 2}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $-2x^2 + 12x - 18$.

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки: $-2(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Таким образом, числитель равен $-2(x - 3)^2$.

Рассмотрим знаменатель: $x^2 + 4x - 21$.

Решим уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -21$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.

Таким образом, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21} = \frac{-2(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 7)} = \frac{-2(x - 3)}{x + 7}$.

Ответ: $\frac{-2(x - 3)}{x + 7}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $2x^2 - 3x - 2$.

Решим уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x + 1)$.

Рассмотрим знаменатель: $2x^2 - 5x - 3$.

Решим уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3} = \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(x - 3)(2x + 1)} = \frac{x - 2}{x - 3}$.

Ответ: $\frac{x - 2}{x - 3}$.

9.27. 1) $\frac{-x^2 - 5x - 4}{x^2 + 8x + 16}$;

2) $\frac{5x^2 + x}{3 - 10x^2 + 13x}$;

3) $\frac{5x^2 + 8x + 3}{14 - 11x^2 + 3x}$;

4) $\frac{9x^2 - 1}{6x^2 + x - 1}$.

1) Для упрощения дроби $ \frac{-x^2 - 5x - 4}{x^2 + 8x + 16} $ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $ -x^2 - 5x - 4 $. Вынесем $ -1 $ за скобку: $ -(x^2 + 5x + 4) $. Для разложения квадратного трехчлена $ x^2 + 5x + 4 $ найдем его корни, решив уравнение $ x^2 + 5x + 4 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна $ -5 $, а их произведение равно $ 4 $. Легко подобрать корни: $ x_1 = -4 $ и $ x_2 = -1 $. Тогда разложение имеет вид $ a(x-x_1)(x-x_2) $, то есть $ 1 \cdot (x - (-4))(x - (-1)) = (x+4)(x+1) $. Таким образом, числитель равен $ -(x+4)(x+1) $.

Разложим знаменатель $ x^2 + 8x + 16 $. Это выражение является полным квадратом суммы, так как $ x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = (x+4)^2 $.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{-(x+4)(x+1)}{(x+4)^2} $

Сократим дробь на общий множитель $ (x+4) $, при условии, что $ x+4 \neq 0 $, то есть $ x \neq -4 $.

$ \frac{-(x+1)}{x+4} = -\frac{x+1}{x+4} $

Ответ: $ -\frac{x+1}{x+4} $

2) Упростим дробь $ \frac{5x^2 + x}{3 - 10x^2 + 13x} $.

В числителе $ 5x^2 + x $ вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $ x(5x + 1) $.

Знаменатель $ 3 - 10x^2 + 13x $ перепишем в стандартном виде $ -10x^2 + 13x + 3 $. Найдем корни квадратного трехчлена, решив уравнение $ -10x^2 + 13x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(-10)(3) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $. Корни уравнения: $ x_1 = \frac{-13 - 17}{2(-10)} = \frac{-30}{-20} = \frac{3}{2} $ и $ x_2 = \frac{-13 + 17}{2(-10)} = \frac{4}{-20} = -\frac{1}{5} $. Разложение знаменателя: $ -10(x - \frac{3}{2})(x - (-\frac{1}{5})) = -10(x - \frac{3}{2})(x + \frac{1}{5}) = -2 \cdot 5 \cdot (x - \frac{3}{2})(x + \frac{1}{5}) = -(2x-3)(5x+1) = (3-2x)(5x+1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{x(5x+1)}{(3-2x)(5x+1)} $

Сократим на общий множитель $ (5x+1) $ при условии, что $ 5x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -\frac{1}{5} $.

$ \frac{x}{3-2x} $

Ответ: $ \frac{x}{3-2x} $

3) Упростим дробь $ \frac{5x^2 + 8x + 3}{14 - 11x^2 + 3x} $.

Разложим на множители числитель $ 5x^2 + 8x + 3 $. Решим уравнение $ 5x^2 + 8x + 3 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(5)(3) = 64 - 60 = 4 = 2^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1 $ и $ x_2 = \frac{-8 + 2}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5} $. Разложение числителя: $ 5(x - (-1))(x - (-\frac{3}{5})) = 5(x+1)(x+\frac{3}{5}) = (x+1)(5x+3) $.

Разложим знаменатель $ 14 - 11x^2 + 3x = -11x^2 + 3x + 14 $. Решим уравнение $ -11x^2 + 3x + 14 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-11)(14) = 9 + 616 = 625 = 25^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-3 - 25}{2(-11)} = \frac{-28}{-22} = \frac{14}{11} $ и $ x_2 = \frac{-3 + 25}{-22} = \frac{22}{-22} = -1 $. Разложение знаменателя: $ -11(x - \frac{14}{11})(x - (-1)) = -(11x-14)(x+1) = (14-11x)(x+1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(x+1)(5x+3)}{(14-11x)(x+1)} $

Сократим на общий множитель $ (x+1) $ при условии, что $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq -1 $.

$ \frac{5x+3}{14-11x} $

Ответ: $ \frac{5x+3}{14-11x} $

4) Упростим дробь $ \frac{9x^2 - 1}{6x^2 + x - 1} $.

Числитель $ 9x^2 - 1 $ является разностью квадратов: $ (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1) $.

Разложим на множители знаменатель $ 6x^2 + x - 1 $. Решим уравнение $ 6x^2 + x - 1 = 0 $. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $. Корни: $ x_1 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} $ и $ x_2 = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $. Разложение знаменателя: $ 6(x - (-\frac{1}{2}))(x - \frac{1}{3}) = 6(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3}) = 2(x+\frac{1}{2}) \cdot 3(x-\frac{1}{3}) = (2x+1)(3x-1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(3x-1)(3x+1)}{(2x+1)(3x-1)} $

Сократим на общий множитель $ (3x-1) $ при условии, что $ 3x-1 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{1}{3} $.

$ \frac{3x+1}{2x+1} $

Ответ: $ \frac{3x+1}{2x+1} $