Номер 9.19, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.19. 1) $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8}$;

2) $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4}$;

3) $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4}$;

4) $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 4}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8}$, разложим знаменатель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $7a^2 + a - 8 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225 = 15^2$. Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$. $a_2 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$. Используя формулу разложения квадратного трехчлена $Ax^2+Bx+C=A(x-x_1)(x-x_2)$, получаем: $7a^2 + a - 8 = 7(a - 1)(a - (-\frac{8}{7})) = 7(a - 1)(a + \frac{8}{7}) = (a - 1)(7a + 8)$. Теперь подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{a - 1}{7a^2 + a - 8} = \frac{a - 1}{(a - 1)(7a + 8)}$. Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что $a \neq 1$: $\frac{\cancel{a - 1}}{(\cancel{a - 1})(7a + 8)} = \frac{1}{7a + 8}$.
Ответ: $\frac{1}{7a + 8}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4}$. Разложим на множители знаменатель $3a^2 + 4a - 4$. Решим уравнение $3a^2 + 4a - 4 = 0$. Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$. $a_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Знаменатель раскладывается на множители: $3a^2 + 4a - 4 = 3(a - (-2))(a - \frac{2}{3}) = 3(a+2)(a - \frac{2}{3}) = (a+2)(3a-2)$. Подставим в дробь: $\frac{3a - 2}{3a^2 + 4a - 4} = \frac{3a - 2}{(a+2)(3a - 2)}$. Сократим на общий множитель $(3a - 2)$, при условии, что $a \neq \frac{2}{3}$: $\frac{\cancel{3a - 2}}{(a+2)(\cancel{3a - 2})} = \frac{1}{a + 2}$.
Ответ: $\frac{1}{a + 2}$.

3) Сократим дробь $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4}$. Разложим числитель на множители: $a^2 - 4a = a(a - 4)$. Разложим знаменатель на множители, решив уравнение $2a^2 - 7a - 4 = 0$. Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-7) - 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. $a_2 = \frac{-(-7) + 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Разложение знаменателя: $2a^2 - 7a - 4 = 2(a - 4)(a - (-\frac{1}{2})) = 2(a - 4)(a + \frac{1}{2}) = (a - 4)(2a + 1)$. Подставим в дробь: $\frac{a^2 - 4a}{2a^2 - 7a - 4} = \frac{a(a - 4)}{(a - 4)(2a + 1)}$. Сократим на общий множитель $(a - 4)$, при условии, что $a \neq 4$: $\frac{a(\cancel{a - 4})}{(\cancel{a - 4})(2a + 1)} = \frac{a}{2a + 1}$.
Ответ: $\frac{a}{2a + 1}$.

4) Сократим дробь $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 8}$. (Примечание: в знаменателе предполагается $2a^2 - 8a + 8$, так как это приводит к сокращению, что типично для задач такого типа. При знаменателе $2a^2-8a+4$ дробь не сокращается). Разложим на множители числитель: $2a - a^2 = a(2 - a) = -a(a - 2)$. Разложим на множители знаменатель. Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^2 - 8a + 8 = 2(a^2 - 4a + 4)$. Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$. Таким образом, знаменатель равен $2(a - 2)^2$. Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{2a - a^2}{2a^2 - 8a + 8} = \frac{-a(a - 2)}{2(a - 2)^2}$. Сократим на общий множитель $(a-2)$, при условии, что $a \neq 2$: $\frac{-a(\cancel{a - 2})}{2(a - 2)^{\cancel{2}}} = \frac{-a}{2(a - 2)}$. Этот результат также можно записать в виде $\frac{a}{2(2 - a)}$.
Ответ: $\frac{-a}{2(a - 2)}$.