Номер 9.16, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.16. 1) $3a^2 - 11a - 32;$

2) $7 + 2a^2 - 8a;$

3) $2a^2 - 7a + 3;$

4) $-2a^2 + 9a + 5.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $3a^2 - 11a - 32$, приравняем его к нулю и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $3a^2 - 11a - 32 = 0$.

Для решения используется формула корней квадратного уравнения $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3, b = -11, c = -32$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 121 + 384 = 505$.

Так как дискриминант $D = 505 > 0$ и не является полным квадратом, у уравнения есть два действительных иррациональных корня. Это означает, что трехчлен нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами, но можно с иррациональными.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + \sqrt{505}}{6}$

$a_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - \sqrt{505}}{6}$

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $k(x - x_1)(x - x_2)$, где $k$ - старший коэффициент. Подставим наши значения:

$3a^2 - 11a - 32 = 3 \left( a - \frac{11 + \sqrt{505}}{6} \right) \left( a - \frac{11 - \sqrt{505}}{6} \right)$.

Ответ: $3 \left( a - \frac{11 + \sqrt{505}}{6} \right) \left( a - \frac{11 - \sqrt{505}}{6} \right)$.

2) Сначала приведем многочлен $7 + 2a^2 - 8a$ к стандартному виду, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $a$: $2a^2 - 8a + 7$.

Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $2a^2 - 8a + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 2, b = -8, c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8$.

Дискриминант $D=8 > 0$, следовательно, корни действительные и иррациональные. $\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-8) + 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{8 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(4 + \sqrt{2})}{4} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

$a_2 = \frac{-(-8) - 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{8 - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(4 - \sqrt{2})}{4} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$2a^2 - 8a + 7 = 2 \left( a - \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right) \left( a - \frac{4 - \sqrt{2}}{2} \right)$.

Ответ: $2 \left( a - \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right) \left( a - \frac{4 - \sqrt{2}}{2} \right)$.

3) Разложим на множители трехчлен $2a^2 - 7a + 3$.

Найдем корни уравнения $2a^2 - 7a + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a = 2, b = -7, c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Дискриминант $D=25=5^2 > 0$, корни рациональные.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$a_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$2a^2 - 7a + 3 = 2 \left( a - 3 \right) \left( a - \frac{1}{2} \right)$.

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 2 на вторую скобку:

$(a - 3) \cdot 2 \left( a - \frac{1}{2} \right) = (a - 3)(2a - 1)$.

Ответ: $(a - 3)(2a - 1)$.

4) Разложим на множители трехчлен $-2a^2 + 9a + 5$.

Найдем корни уравнения $-2a^2 + 9a + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a = -2, b = 9, c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 5 = 81 + 40 = 121$.

Дискриминант $D=121=11^2 > 0$, корни рациональные.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{-20}{-4} = 5$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2a^2 + 9a + 5 = -2 \left( a - (-\frac{1}{2}) \right) (a - 5) = -2 \left( a + \frac{1}{2} \right) (a - 5)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель -2 на первую скобку:

$-2 \left( a + \frac{1}{2} \right) \cdot (a - 5) = (-2a - 1)(a - 5)$.

Для более удобного вида можно вынести знак минус из первой скобки и внести его во вторую:

$-(2a + 1)(a - 5) = (2a + 1)(-(a-5)) = (2a + 1)(5 - a)$.

Ответ: $(2a + 1)(5 - a)$.