Номер 9.15, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.15. 1) $-4x^2 - 7x + 2;$

2) $-2x^2 - 12x + 14;$

3) $-2x^2 + 5x + 7;$

4) $-11x^2 + 3x + 14.$

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $-4x^2 - 7x + 2$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-4x^2 - 7x + 2 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = -4$, $b = -7$, $c = 2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4(-4)(2) = 49 + 32 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2(-4)} = \frac{7 + 9}{-8} = \frac{16}{-8} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2(-4)} = \frac{7 - 9}{-8} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$.

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-4x^2 - 7x + 2 = -4(x - (-2))(x - \frac{1}{4}) = -4(x + 2)(x - \frac{1}{4})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-4$ в скобку $(x - \frac{1}{4})$:

$(x + 2)(-4(x - \frac{1}{4})) = (x + 2)(-4x + 1) = (x + 2)(1 - 4x)$.

Ответ: $(x + 2)(1 - 4x)$.

2) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 - 12x + 14$.

Сначала вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$-2x^2 - 12x + 14 = -2(x^2 + 6x - 7)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $x^2 + 6x - 7$, найдя корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -7$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Разложение для $x^2 + 6x - 7$ будет $(x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Подставим это в исходное выражение:

$-2(x^2 + 6x - 7) = -2(x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $-2(x - 1)(x + 7)$.

3) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 + 5x + 7$.

Найдем корни уравнения $-2x^2 + 5x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = -2$, $b = 5$, $c = 7$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-2)(7) = 25 + 56 = 81$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2(-2)} = \frac{-5 + 9}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2(-2)} = \frac{-5 - 9}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$.

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2(x - (-1))(x - \frac{7}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{7}{2})$.

Внесем множитель $-2$ в скобку $(x - \frac{7}{2})$:

$(x + 1)(-2(x - \frac{7}{2})) = (x + 1)(-2x + 7) = (x + 1)(7 - 2x)$.

Ответ: $(x + 1)(7 - 2x)$.

4) Разложим на множители трехчлен $-11x^2 + 3x + 14$.

Найдем корни уравнения $-11x^2 + 3x + 14 = 0$.

Коэффициенты: $a = -11$, $b = 3$, $c = 14$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-11)(14) = 9 + 616 = 625$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{625}}{2(-11)} = \frac{-3 + 25}{-22} = \frac{22}{-22} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{625}}{2(-11)} = \frac{-3 - 25}{-22} = \frac{-28}{-22} = \frac{14}{11}$.

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-11(x - (-1))(x - \frac{14}{11}) = -11(x + 1)(x - \frac{14}{11})$.

Внесем множитель $-11$ в скобку $(x - \frac{14}{11})$:

$(x + 1)(-11(x - \frac{14}{11})) = (x + 1)(-11x + 14) = (x + 1)(14 - 11x)$.

Ответ: $(x + 1)(14 - 11x)$.