Страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.7.1) $2x^2 + 5x - 18$;

2) $4x^2 + 7x - 8$;

3) $5x^2 + 9x - 8$;

4) $0.2x^2 + 6x - 18$;

5) $\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1$;

6) $\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$.

1) Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Решим уравнение $2x^2 + 5x - 18 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Подставим корни в формулу разложения:
$2x^2 + 5x - 18 = 2(x - 2)(x - (-\frac{9}{2})) = 2(x - 2)(x + \frac{9}{2})$.
Можно также внести множитель 2 во вторую скобку: $2(x - 2)(x + \frac{9}{2}) = (x - 2)(2x + 9)$.
Ответ: $2(x - 2)(x + \frac{9}{2})$ или $(x - 2)(2x + 9)$.

2) Решим уравнение $4x^2 + 7x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 49 + 128 = 177$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{177}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + \sqrt{177}}{8}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{177}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - \sqrt{177}}{8}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4x^2 + 7x - 8 = 4(x - \frac{-7 + \sqrt{177}}{8})(x - \frac{-7 - \sqrt{177}}{8})$.
Ответ: $4(x - \frac{-7 + \sqrt{177}}{8})(x - \frac{-7 - \sqrt{177}}{8})$.

3) Решим уравнение $5x^2 + 9x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 81 + 160 = 241$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{241}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + \sqrt{241}}{10}$.
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{241}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - \sqrt{241}}{10}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2 + 9x - 8 = 5(x - \frac{-9 + \sqrt{241}}{10})(x - \frac{-9 - \sqrt{241}}{10})$.
Ответ: $5(x - \frac{-9 + \sqrt{241}}{10})(x - \frac{-9 - \sqrt{241}}{10})$.

4) Решим уравнение $0,2x^2 + 6x - 18 = 0$. Коэффициент $a=0,2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 0,2 \cdot (-18) = 36 + 14,4 = 50,4$.
Поскольку работать с десятичными дробями под корнем неудобно, преобразуем уравнение, умножив обе части на 5: $x^2 + 30x - 90 = 0$. Корни этого уравнения будут такими же.
Найдем дискриминант для нового уравнения: $D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 900 + 360 = 1260$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1260} = \sqrt{36 \cdot 35} = 6\sqrt{35}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-30 + 6\sqrt{35}}{2} = -15 + 3\sqrt{35}$.
$x_2 = \frac{-30 - 6\sqrt{35}}{2} = -15 - 3\sqrt{35}$.
Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=0,2$:
$0,2x^2 + 6x - 18 = 0,2(x - (-15 + 3\sqrt{35}))(x - (-15 - 3\sqrt{35})) = 0,2(x + 15 - 3\sqrt{35})(x + 15 + 3\sqrt{35})$.
Ответ: $0,2(x + 15 - 3\sqrt{35})(x + 15 + 3\sqrt{35})$.

5) Решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-1) = 49 + 1 = 50$.
$\sqrt{D} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{-7 + 5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2(-7 + 5\sqrt{2}) = -14 + 10\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{-7 - 5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2(-7 - 5\sqrt{2}) = -14 - 10\sqrt{2}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1 = \frac{1}{4}(x - (-14 + 10\sqrt{2}))(x - (-14 - 10\sqrt{2})) = \frac{1}{4}(x + 14 - 10\sqrt{2})(x + 14 + 10\sqrt{2})$.
Ответ: $\frac{1}{4}(x + 14 - 10\sqrt{2})(x + 14 + 10\sqrt{2})$.

6) Решим уравнение $\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-1) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = (2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}) \cdot \frac{3}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = (2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}) \cdot \frac{3}{2} = 3 - 2\sqrt{3}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1 = \frac{1}{3}(x - (3 + 2\sqrt{3}))(x - (3 - 2\sqrt{3})) = \frac{1}{3}(x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})$.
Ответ: $\frac{1}{3}(x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})$.

9.8.

1) $-2x^2 + 5x - 17;$

2) $-2x^2 + 7x - 11;$

3) $2x^2 - 7x - 13;$

4) $-3x^2 - 7x - 21;$

5) $-0,2x^2 + 7x - 18;$

6) $-2,5x^2 + 5x - 15.$

Поскольку в задании не указан конкретный вопрос к выражениям, наиболее вероятной задачей является нахождение их наибольшего или наименьшего значения. Это стандартная задача для квадратичных трехчленов вида $ax^2 + bx + c$.

Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и трехчлен имеет наименьшее значение. Если $a < 0$, ветви направлены вниз, и трехчлен имеет наибольшее значение. Это значение достигается в вершине параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и равно $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$.

1) $-2x^2 + 5x - 17$

Рассмотрим квадратичный трехчлен $y = -2x^2 + 5x - 17$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -2 < 0$). Следовательно, выражение имеет наибольшее значение в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Абсцисса вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-2)} = \frac{5}{4}$.

Ордината вершины, которая является наибольшим значением выражения:

$y_0 = -2(\frac{5}{4})^2 + 5(\frac{5}{4}) - 17 = -2 \cdot \frac{25}{16} + \frac{25}{4} - 17 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{136}{8} = \frac{25 - 136}{8} = -\frac{111}{8} = -13,875$.

Наибольшее значение достигается при $x = \frac{5}{4}$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-\frac{111}{8}$.

2) $-2x^2 + 7x - 11$

Рассмотрим выражение $y = -2x^2 + 7x - 11$. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз, и выражение имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-2)} = \frac{7}{4}$.

Найдем наибольшее значение, подставив $x_0$ в выражение:

$y_0 = -2(\frac{7}{4})^2 + 7(\frac{7}{4}) - 11 = -2 \cdot \frac{49}{16} + \frac{49}{4} - 11 = -\frac{49}{8} + \frac{98}{8} - \frac{88}{8} = \frac{-49 + 98 - 88}{8} = \frac{49 - 88}{8} = -\frac{39}{8} = -4,875$.

Наибольшее значение достигается при $x = \frac{7}{4}$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-\frac{39}{8}$.

3) $2x^2 - 7x - 13$

Рассмотрим выражение $y = 2x^2 - 7x - 13$. Коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх, и выражение имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$.

Найдем наименьшее значение:

$y_0 = 2(\frac{7}{4})^2 - 7(\frac{7}{4}) - 13 = 2 \cdot \frac{49}{16} - \frac{49}{4} - 13 = \frac{49}{8} - \frac{98}{8} - \frac{104}{8} = \frac{49 - 98 - 104}{8} = \frac{-49 - 104}{8} = -\frac{153}{8} = -19,125$.

Наименьшее значение достигается при $x = \frac{7}{4}$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно $-\frac{153}{8}$.

4) $-3x^2 - 7x - 21$

Рассмотрим выражение $y = -3x^2 - 7x - 21$. Коэффициент $a = -3 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз, и выражение имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-3)} = -\frac{7}{6}$.

Найдем наибольшее значение:

$y_0 = -3(-\frac{7}{6})^2 - 7(-\frac{7}{6}) - 21 = -3 \cdot \frac{49}{36} + \frac{49}{6} - 21 = -\frac{49}{12} + \frac{98}{12} - \frac{252}{12} = \frac{-49 + 98 - 252}{12} = \frac{49 - 252}{12} = -\frac{203}{12}$.

Наибольшее значение достигается при $x = -\frac{7}{6}$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-\frac{203}{12}$.

5) $-0,2x^2 + 7x - 18$

Рассмотрим выражение $y = -0,2x^2 + 7x - 18$. Коэффициент $a = -0,2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз, и выражение имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-0,2)} = -\frac{7}{-0,4} = \frac{70}{4} = 17,5$.

Найдем наибольшее значение:

$y_0 = -0,2 \cdot (17,5)^2 + 7 \cdot 17,5 - 18 = -0,2 \cdot 306,25 + 122,5 - 18 = -61,25 + 122,5 - 18 = 61,25 - 18 = 43,25$.

Наибольшее значение достигается при $x = 17,5$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $43,25$.

6) $-2,5x^2 + 5x - 15$

Рассмотрим выражение $y = -2,5x^2 + 5x - 15$. Коэффициент $a = -2,5 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз, и выражение имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2 \cdot (-2,5)} = -\frac{5}{-5} = 1$.

Найдем наибольшее значение:

$y_0 = -2,5 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 15 = -2,5 + 5 - 15 = 2,5 - 15 = -12,5$.

Наибольшее значение достигается при $x = 1$.

Ответ: Наибольшее значение выражения равно $-12,5$.

9.9. Докажите, что при любых значениях $x$ принимает положительные значения квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 4x + 17$;

2) $x^2 - 6x + 17$;

3) $x^2 - 8x + 17$;

4) $x^2 - 5x + 17$.

1) Чтобы доказать, что трехчлен $x^2 + 4x + 17$ принимает положительные значения при любых $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Представим выражение в виде: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $x^2 + 4x + 17 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 17 = (x + 2)^2 + 13$. Выражение $(x + 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x + 2)^2 \ge 0$ для любого $x$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0. Тогда наименьшее значение всего выражения равно $0 + 13 = 13$. Поскольку $13 > 0$, исходный трехчлен всегда положителен. Ответ: Выражение $x^2 + 4x + 17$ равно $(x+2)^2 + 13$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, а 13 — положительное число, их сумма всегда положительна, что и требовалось доказать.

2) Докажем, что трехчлен $x^2 - 6x + 17$ всегда положителен, выделив полный квадрат. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Представим выражение в виде: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $3^2=9$. Добавим и вычтем 9: $x^2 - 6x + 17 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 17 = (x - 3)^2 + 8$. Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$, то наименьшее значение всего выражения составляет $0 + 8 = 8$. Поскольку $8 > 0$, исходный трехчлен всегда принимает положительные значения. Ответ: Выражение $x^2 - 6x + 17$ равно $(x-3)^2 + 8$. Эта сумма всегда положительна, так как состоит из неотрицательного слагаемого $(x-3)^2$ и положительного числа 8, что и требовалось доказать.

3) Для доказательства, что трехчлен $x^2 - 8x + 17$ всегда положителен, выделим полный квадрат. Представим выражение в виде: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 17$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $4^2=16$. Добавим и вычтем 16: $x^2 - 8x + 17 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 17 = (x - 4)^2 + 1$. Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, $(x - 4)^2 \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $0 + 1 = 1$. Поскольку $1 > 0$, исходный трехчлен всегда принимает положительные значения. Ответ: Выражение $x^2 - 8x + 17$ равно $(x-4)^2 + 1$. Эта сумма всегда положительна, так как является суммой неотрицательного слагаемого $(x-4)^2$ и положительного числа 1, что и требовалось доказать.

4) Докажем, что трехчлен $x^2 - 5x + 17$ всегда положителен, выделив полный квадрат. Представим $5x$ как $2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $(\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это число: $x^2 - 5x + 17 = (x^2 - 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 17 = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{-25+68}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{43}{4}$. Так как $(x - \frac{5}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{43}{4} > 0$, то их сумма всегда будет положительной. Наименьшее значение выражения равно $0 + \frac{43}{4} = \frac{43}{4}$, что больше нуля. Ответ: Выражение $x^2 - 5x + 17$ равно $(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{43}{4}$. Так как $(x - \frac{5}{2})^2$ всегда неотрицательно, а $\frac{43}{4}$ — положительное число, их сумма всегда положительна, что и требовалось доказать.

9.10. Докажите, что при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения квадратный трехчлен:

1) $-x^2 - 6x - 17$;

2) $-x^2 + x - 7$;

3) $-x^2 + 4x - 7$;

4) $-x^2 + 6x - 27$.

1) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 - 6x - 17$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Это позволит найти его наибольшее значение.
$-x^2 - 6x - 17 = -(x^2 + 6x) - 17 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 17 = -((x + 3)^2 - 9) - 17 = -(x + 3)^2 + 9 - 17 = -(x+3)^2 - 8$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x+3)^2 - 8$.
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+3)^2 \ge 0$ для любых $x$.
Соответственно, выражение $-(x+3)^2$ является неположительным, то есть $-(x+3)^2 \le 0$.
Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(x+3)^2$, равно $0$. Это значение достигается при $x = -3$.
Следовательно, наибольшее значение всего трехчлена равно $0 - 8 = -8$.
Так как максимальное значение трехчлена равно $-8$, то есть является отрицательным числом, то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + x - 7$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + x - 7 = -(x^2 - x) - 7 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) - 7 = -((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 7 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} - 7 = -(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$.
Выражение $(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неотрицательно: $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно: $-(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x - \frac{1}{2})^2$ равно $0$ (достигается при $x = \frac{1}{2}$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - \frac{27}{4} = -\frac{27}{4}$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-\frac{27}{4}$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + 4x - 7$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + 4x - 7 = -(x^2 - 4x) - 7 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 7 = -((x - 2)^2 - 4) - 7 = -(x - 2)^2 + 4 - 7 = -(x-2)^2 - 3$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x-2)^2 - 3$.
Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно: $(x-2)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-2)^2$ всегда неположительно: $-(x-2)^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x-2)^2$ равно $0$ (достигается при $x = 2$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - 3 = -3$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-3$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + 6x - 27$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + 6x - 27 = -(x^2 - 6x) - 27 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 27 = -((x - 3)^2 - 9) - 27 = -(x - 3)^2 + 9 - 27 = -(x-3)^2 - 18$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x-3)^2 - 18$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-3)^2$ всегда неположительно: $-(x-3)^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x-3)^2$ равно $0$ (достигается при $x = 3$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - 18 = -18$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-18$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

9.11. При каких значениях переменной x обращается в нуль квадратный трехчлен:

1) $-2x^2 + 5x - 27;$

2) $x^2 - 11x - 12;$

3) $-2x^2 + 7x - 13;$

4) $-3x^2 + 7x - 21;$

5) $-2,5x^2 + 5x - 15;$

6) $-0,2x^2 + 7x - 18?$

Чтобы найти значения переменной $x$, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, необходимо приравнять каждый трехчлен к нулю и решить соответствующее квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Корни такого уравнения находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ - дискриминант. Если $D < 0$, действительных корней нет.

1) $-2x^2 + 5x - 27$

Решим уравнение $-2x^2 + 5x - 27 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = 5$, $c = -27$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-27) = 25 - 216 = -191$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

2) $x^2 - 11x - 12$

Решим уравнение $x^2 - 11x - 12 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -11$, $c = -12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

Найдем корни по формуле:

$x_1 = \frac{-(-11) + 13}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 13}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

$x_2 = \frac{-(-11) - 13}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 13}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 12$.

3) $-2x^2 + 7x - 13$

Решим уравнение $-2x^2 + 7x - 13 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = 7$, $c = -13$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-13) = 49 - 104 = -55$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

4) $-3x^2 + 7x - 21$

Решим уравнение $-3x^2 + 7x - 21 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = -3$, $b = 7$, $c = -21$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-21) = 49 - 252 = -203$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

5) $-2,5x^2 + 5x - 15$

Решим уравнение $-2,5x^2 + 5x - 15 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-2$:

$5x^2 - 10x + 30 = 0$.

Теперь разделим обе части на $5$:

$x^2 - 2x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант для полученного уравнения ($a = 1, b = -2, c = 6$):

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: таких значений $x$ не существует.

6) $-0,2x^2 + 7x - 18$

Решим уравнение $-0,2x^2 + 7x - 18 = 0$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на $-5$:

$x^2 - 35x + 90 = 0$.

Вычислим дискриминант для этого уравнения ($a = 1, b = -35, c = 90$):

$D = b^2 - 4ac = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1225 - 360 = 865$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(-35) \pm \sqrt{865}}{2 \cdot 1} = \frac{35 \pm \sqrt{865}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{35 - \sqrt{865}}{2}, x_2 = \frac{35 + \sqrt{865}}{2}$.

9.12. При каких значениях переменной $x$ принимает неотрицательные значения квадратный трехчлен:

1) $x^2 + 4x - 21$;

2) $x^2 + 10x + 21$;

3) $-x^2 + 2x - 7$;

4) $6x^2 - 13x + 6$?

1) $x^2 + 4x - 21$

Чтобы найти, при каких значениях переменной $x$ данный квадратный трехчлен принимает неотрицательные значения, необходимо решить неравенство $x^2 + 4x - 21 \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 21$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=1$ положителен. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -7$ и $x = 3$. Следовательно, значения трехчлена неотрицательны (больше или равны нулю) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -7$ и при $x \ge 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [3, \infty)$.

2) $x^2 + 10x + 21$

Решим неравенство $x^2 + 10x + 21 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 10x + 21 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{-10 - 4}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-10 + 4}{2} = -3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 10x + 21$ направлены вверх ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=-7$ и $x=-3$. Значит, трехчлен принимает неотрицательные значения на промежутках $x \le -7$ и $x \ge -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-3, \infty)$.

3) $-x^2 + 2x - 7$

Необходимо решить неравенство $-x^2 + 2x - 7 \ge 0$.

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $-x^2 + 2x - 7 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-7) = 4 - 28 = -24$.

Так как $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = -x^2 + 2x - 7$ не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a=-1$ отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Поскольку парабола не пересекает ось Ox и ее ветви направлены вниз, вся парабола расположена ниже оси Ox.

Это означает, что значение трехчлена $-x^2 + 2x - 7$ всегда отрицательно при любом действительном значении $x$.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 2x - 7 \ge 0$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

4) $6x^2 - 13x + 6$

Решаем неравенство $6x^2 - 13x + 6 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$x_2 = \frac{13 + 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Старший коэффициент $a=6$ положителен, значит ветви параболы $y = 6x^2 - 13x + 6$ направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = \frac{2}{3}$ и $x = \frac{3}{2}$.

Следовательно, трехчлен принимает неотрицательные значения, когда переменная $x$ находится за пределами интервала между корнями, включая сами корни. Это соответствует промежуткам $x \le \frac{2}{3}$ и $x \ge \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{2}{3}] \cup [\frac{3}{2}, \infty)$.

Разложите квадратные трехчлены на множители (9.13–9.17):

9.13. 1) $x^2 - 5x + 6;$ 2) $x^2 + 5x + 6;$ 3) $x^2 - 2x - 8;$
4) $x^2 - 8x + 15;$ 5) $x^2 - 14x + 40;$ 6) $x^2 + 11x + 30.$

1) $x^2 - 5x + 6$
Для того чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.
В данном уравнении коэффициенты $p = -5$ и $q = 6$. Следовательно, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим, что этими числами являются 2 и 3. Таким образом, корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Формула для разложения квадратного трехчлена на множители имеет вид $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае коэффициент $a=1$, поэтому формула упрощается до $(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставив найденные корни, получаем:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

2) $x^2 + 5x + 6$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3)$.
Ответ: $(x + 2)(x + 3)$

3) $x^2 - 2x - 8$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 2)$

4) $x^2 - 8x + 15$
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 5)$

5) $x^2 - 14x + 40$
Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-14) = 14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 40$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 14x + 40 = (x - 4)(x - 10)$.
Ответ: $(x - 4)(x - 10)$

6) $x^2 + 11x + 30$
Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 30 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 30$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -6$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 11x + 30 = (x - (-5))(x - (-6)) = (x + 5)(x + 6)$.
Ответ: $(x + 5)(x + 6)$

9.14. 1) $7x^2 + x - 8$;

2) $5x^2 + 8x + 3$;

3) $-2x^2 + 7x - 3$;

4) $2x^2 - 2x + 0,25$.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $7x^2 + x - 8$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + x - 8 = 0$.
Коэффициенты уравнения: $a=7, b=1, c=-8$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 1 + 224 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-1 + 15}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$.
$x_2 = \frac{-1 - 15}{2 \cdot 7} = \frac{-16}{14} = -\frac{8}{7}$.
Теперь используем формулу разложения квадратного трехчлена на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
$7x^2 + x - 8 = 7(x - 1)(x - (-\frac{8}{7})) = 7(x - 1)(x + \frac{8}{7})$.
Для удобства внесем множитель 7 во вторую скобку:
$7(x - 1)(x + \frac{8}{7}) = (x - 1)(7x + 7 \cdot \frac{8}{7}) = (x - 1)(7x + 8)$.
Ответ: $(x - 1)(7x + 8)$.

2) Чтобы разложить трехчлен $5x^2 + 8x + 3$ на множители, решим уравнение $5x^2 + 8x + 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=5, b=8, c=3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 + 2}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
$x_2 = \frac{-8 - 2}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$.
Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$5x^2 + 8x + 3 = 5(x - (-\frac{3}{5}))(x - (-1)) = 5(x + \frac{3}{5})(x + 1)$.
Умножим первую скобку на коэффициент 5:
$5(x + \frac{3}{5})(x + 1) = (5x + 3)(x + 1)$.
Ответ: $(5x + 3)(x + 1)$.

3) Для разложения на множители трехчлена $-2x^2 + 7x - 3$ найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a=-2, b=7, c=-3$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 49 - 24 = 25$.
$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot (-2)} = \frac{-12}{-4} = 3$.
Подставим корни в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$-2x^2 + 7x - 3 = -2(x - \frac{1}{2})(x - 3)$.
Внесем множитель -2 в первую скобку:
$-2(x - \frac{1}{2})(x - 3) = (-2x + 1)(x - 3)$ или $(1 - 2x)(x - 3)$.
Ответ: $(1 - 2x)(x - 3)$.

4) Разложим на множители трехчлен $2x^2 - 2x + 0.25$. Для этого решим уравнение $2x^2 - 2x + 0.25 = 0$.
Коэффициенты: $a=2, b=-2, c=0.25$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0.25 = 4 - 8 \cdot 0.25 = 4 - 2 = 2$.
$\sqrt{D} = \sqrt{2}$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.
Подставим найденные корни в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 - 2x + 0.25 = 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.
Ответ: $2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.

9.15. 1) $-4x^2 - 7x + 2;$

2) $-2x^2 - 12x + 14;$

3) $-2x^2 + 5x + 7;$

4) $-11x^2 + 3x + 14.$

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $-4x^2 - 7x + 2$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-4x^2 - 7x + 2 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = -4$, $b = -7$, $c = 2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4(-4)(2) = 49 + 32 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{81}}{2(-4)} = \frac{7 + 9}{-8} = \frac{16}{-8} = -2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{81}}{2(-4)} = \frac{7 - 9}{-8} = \frac{-2}{-8} = \frac{1}{4}$.

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-4x^2 - 7x + 2 = -4(x - (-2))(x - \frac{1}{4}) = -4(x + 2)(x - \frac{1}{4})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-4$ в скобку $(x - \frac{1}{4})$:

$(x + 2)(-4(x - \frac{1}{4})) = (x + 2)(-4x + 1) = (x + 2)(1 - 4x)$.

Ответ: $(x + 2)(1 - 4x)$.

2) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 - 12x + 14$.

Сначала вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$-2x^2 - 12x + 14 = -2(x^2 + 6x - 7)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $x^2 + 6x - 7$, найдя корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -7$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$.

Разложение для $x^2 + 6x - 7$ будет $(x - 1)(x - (-7)) = (x - 1)(x + 7)$.

Подставим это в исходное выражение:

$-2(x^2 + 6x - 7) = -2(x - 1)(x + 7)$.

Ответ: $-2(x - 1)(x + 7)$.

3) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 + 5x + 7$.

Найдем корни уравнения $-2x^2 + 5x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = -2$, $b = 5$, $c = 7$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-2)(7) = 25 + 56 = 81$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2(-2)} = \frac{-5 + 9}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2(-2)} = \frac{-5 - 9}{-4} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$.

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2(x - (-1))(x - \frac{7}{2}) = -2(x + 1)(x - \frac{7}{2})$.

Внесем множитель $-2$ в скобку $(x - \frac{7}{2})$:

$(x + 1)(-2(x - \frac{7}{2})) = (x + 1)(-2x + 7) = (x + 1)(7 - 2x)$.

Ответ: $(x + 1)(7 - 2x)$.

4) Разложим на множители трехчлен $-11x^2 + 3x + 14$.

Найдем корни уравнения $-11x^2 + 3x + 14 = 0$.

Коэффициенты: $a = -11$, $b = 3$, $c = 14$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(-11)(14) = 9 + 616 = 625$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{625}}{2(-11)} = \frac{-3 + 25}{-22} = \frac{22}{-22} = -1$.

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{625}}{2(-11)} = \frac{-3 - 25}{-22} = \frac{-28}{-22} = \frac{14}{11}$.

Применим формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-11(x - (-1))(x - \frac{14}{11}) = -11(x + 1)(x - \frac{14}{11})$.

Внесем множитель $-11$ в скобку $(x - \frac{14}{11})$:

$(x + 1)(-11(x - \frac{14}{11})) = (x + 1)(-11x + 14) = (x + 1)(14 - 11x)$.

Ответ: $(x + 1)(14 - 11x)$.

9.16. 1) $3a^2 - 11a - 32;$

2) $7 + 2a^2 - 8a;$

3) $2a^2 - 7a + 3;$

4) $-2a^2 + 9a + 5.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $3a^2 - 11a - 32$, приравняем его к нулю и найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $3a^2 - 11a - 32 = 0$.

Для решения используется формула корней квадратного уравнения $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ – дискриминант.

В данном уравнении коэффициенты: $a = 3, b = -11, c = -32$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 121 + 384 = 505$.

Так как дискриминант $D = 505 > 0$ и не является полным квадратом, у уравнения есть два действительных иррациональных корня. Это означает, что трехчлен нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами, но можно с иррациональными.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + \sqrt{505}}{6}$

$a_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{505}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - \sqrt{505}}{6}$

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $k(x - x_1)(x - x_2)$, где $k$ - старший коэффициент. Подставим наши значения:

$3a^2 - 11a - 32 = 3 \left( a - \frac{11 + \sqrt{505}}{6} \right) \left( a - \frac{11 - \sqrt{505}}{6} \right)$.

Ответ: $3 \left( a - \frac{11 + \sqrt{505}}{6} \right) \left( a - \frac{11 - \sqrt{505}}{6} \right)$.

2) Сначала приведем многочлен $7 + 2a^2 - 8a$ к стандартному виду, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $a$: $2a^2 - 8a + 7$.

Чтобы разложить его на множители, найдем корни уравнения $2a^2 - 8a + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a = 2, b = -8, c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8$.

Дискриминант $D=8 > 0$, следовательно, корни действительные и иррациональные. $\sqrt{D} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-8) + 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{8 + 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(4 + \sqrt{2})}{4} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$

$a_2 = \frac{-(-8) - 2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{8 - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{2(4 - \sqrt{2})}{4} = \frac{4 - \sqrt{2}}{2}$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$2a^2 - 8a + 7 = 2 \left( a - \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right) \left( a - \frac{4 - \sqrt{2}}{2} \right)$.

Ответ: $2 \left( a - \frac{4 + \sqrt{2}}{2} \right) \left( a - \frac{4 - \sqrt{2}}{2} \right)$.

3) Разложим на множители трехчлен $2a^2 - 7a + 3$.

Найдем корни уравнения $2a^2 - 7a + 3 = 0$.

Коэффициенты: $a = 2, b = -7, c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.

Дискриминант $D=25=5^2 > 0$, корни рациональные.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$a_2 = \frac{-(-7) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$2a^2 - 7a + 3 = 2 \left( a - 3 \right) \left( a - \frac{1}{2} \right)$.

Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 2 на вторую скобку:

$(a - 3) \cdot 2 \left( a - \frac{1}{2} \right) = (a - 3)(2a - 1)$.

Ответ: $(a - 3)(2a - 1)$.

4) Разложим на множители трехчлен $-2a^2 + 9a + 5$.

Найдем корни уравнения $-2a^2 + 9a + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a = -2, b = 9, c = 5$.

Вычислим дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 5 = 81 + 40 = 121$.

Дискриминант $D=121=11^2 > 0$, корни рациональные.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot (-2)} = \frac{-20}{-4} = 5$

Подставим корни в формулу разложения $k(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2a^2 + 9a + 5 = -2 \left( a - (-\frac{1}{2}) \right) (a - 5) = -2 \left( a + \frac{1}{2} \right) (a - 5)$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим множитель -2 на первую скобку:

$-2 \left( a + \frac{1}{2} \right) \cdot (a - 5) = (-2a - 1)(a - 5)$.

Для более удобного вида можно вынести знак минус из первой скобки и внести его во вторую:

$-(2a + 1)(a - 5) = (2a + 1)(-(a-5)) = (2a + 1)(5 - a)$.

Ответ: $(2a + 1)(5 - a)$.

9.17. 1) $3 - 5n - n^2;$

2) $2 - 3n - 2n^2;$

3) $-11n^2 + 3n + 14;$

4) $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $3 - 5n - n^2$, сначала запишем его в стандартном виде: $-n^2 - 5n + 3$.
Для разложения на множители используем формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.
Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $-n^2 - 5n + 3 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $n^2 + 5n - 3 = 0$.
Теперь найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для этого уравнения, где $a=1$, $b=5$, $c=-3$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Итак, $n_1 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}$ и $n_2 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}$.
Коэффициент $a$ в исходном трехчлене $-n^2 - 5n + 3$ равен $-1$.
Подставляем значения $a$, $n_1$ и $n_2$ в формулу разложения:
$-1 \left( n - \frac{-5 + \sqrt{37}}{2} \right) \left( n - \frac{-5 - \sqrt{37}}{2} \right) = -\left( n + \frac{5 - \sqrt{37}}{2} \right) \left( n + \frac{5 + \sqrt{37}}{2} \right)$.
Ответ: $-\left( n + \frac{5 - \sqrt{37}}{2} \right) \left( n + \frac{5 + \sqrt{37}}{2} \right)$.

2) Рассмотрим трехчлен $2 - 3n - 2n^2$. Запишем его в стандартном виде: $-2n^2 - 3n + 2$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $-2n^2 - 3n + 2 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$: $2n^2 + 3n - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$n_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$n_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
Используем формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$. Для исходного трехчлена $-2n^2 - 3n + 2$ коэффициент $a=-2$.
$-2n^2 - 3n + 2 = -2 \left( n - \frac{1}{2} \right) (n - (-2)) = -2 \left( n - \frac{1}{2} \right) (n + 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-2$ в первую скобку: $-2 \left( n - \frac{1}{2} \right) = -2n + 1 = 1 - 2n$.
Таким образом, разложение имеет вид: $(1 - 2n)(n + 2)$.
Ответ: $(1 - 2n)(n + 2)$.

3) Трехчлен $-11n^2 + 3n + 14$ уже записан в стандартном виде.
Найдем корни уравнения $-11n^2 + 3n + 14 = 0$.
Умножим на $-1$: $11n^2 - 3n - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625 = 25^2$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm 25}{2 \cdot 11} = \frac{3 \pm 25}{22}$.
$n_1 = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$n_2 = \frac{3 - 25}{22} = \frac{-22}{22} = -1$.
Применим формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$. В исходном трехчлене $a=-11$.
$-11n^2 + 3n + 14 = -11 \left( n - \frac{14}{11} \right) (n - (-1)) = -11 \left( n - \frac{14}{11} \right) (n + 1)$.
Внесем множитель $-11$ в первую скобку: $-11 \left( n - \frac{14}{11} \right) = -11n + 14 = 14 - 11n$.
Получаем разложение: $(14 - 11n)(n + 1)$.
Ответ: $(14 - 11n)(n + 1)$.

4) Рассмотрим трехчлен $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6$.
Способ 1: Вынесение общего множителя.
Вынесем коэффициент при старшем члене, $-\frac{2}{3}$, за скобки:
$-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6 = -\frac{2}{3} \left( n^2 - \frac{4}{2/3}n + \frac{6}{2/3} \right) = -\frac{2}{3} \left( n^2 - 4 \cdot \frac{3}{2}n + 6 \cdot \frac{3}{2} \right) = -\frac{2}{3} (n^2 - 6n + 9)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $n^2 - 6n + 9 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = (n-3)^2$.
Следовательно, разложение имеет вид: $-\frac{2}{3}(n-3)^2$.
Способ 2: Нахождение корней.
Решим уравнение $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6 = 0$. Умножим обе части на $-\frac{3}{2}$:
$n^2 - 6n + 9 = 0$.
Это уравнение соответствует полному квадрату $(n-3)^2=0$, откуда получаем один корень $n=3$ (кратности 2).
Используем формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$, где $a = -\frac{2}{3}$ и $n_1=n_2=3$.
$-\frac{2}{3}(n-3)(n-3) = -\frac{2}{3}(n-3)^2$.
Ответ: $-\frac{2}{3}(n-3)^2$.