Страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.36. Зависимость длины пройденного пути s (в километрах) туристом до базы от времени его движения t (в часах) задана формулой:

$s = \begin{cases} 12t, & \text{если } 0 < t < \frac{5}{6}, \\ 10t, & \text{если } \frac{5}{6} \le t < 3, \\ -3t + 13, & \text{если } 3 \le t \le 4. \end{cases}$

Найдите: $s(0); s(0,5); s(1); s(1,5); s(2); s(3).$

Постройте график функции s(t).

Опишите с помощью графика, как происходило движение туриста.

Найдите: s(0); s(0,5); s(1); s(1,5); s(2); s(3)

Для нахождения значений функции $s(t)$ в заданных точках, необходимо определить, в какой из трех интервалов попадает значение времени $t$ и использовать соответствующую формулу.

1. $t=0$. Это значение попадает в интервал $0 \le t < \frac{5}{6}$. Используем формулу $s(t) = 12t$.
$s(0) = 12 \cdot 0 = 0$.

2. $t=0,5$. Так как $0,5 = \frac{1}{2}$, а $\frac{1}{2} < \frac{5}{6}$ (поскольку $3 < 5$), это значение попадает в интервал $0 \le t < \frac{5}{6}$. Используем формулу $s(t) = 12t$.
$s(0,5) = 12 \cdot 0,5 = 6$.

3. $t=1$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$, так как $\frac{5}{6} \approx 0,83 < 1$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(1) = 10 \cdot 1 = 10$.

4. $t=1,5$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(1,5) = 10 \cdot 1,5 = 15$.

5. $t=2$. Это значение попадает в интервал $\frac{5}{6} \le t < 3$. Используем формулу $s(t) = 10t$.
$s(2) = 10 \cdot 2 = 20$.

6. $t=3$. Это значение попадает в интервал $3 \le t \le 4$. Используем формулу $s(t) = -3t + 13$.
$s(3) = -3 \cdot 3 + 13 = -9 + 13 = 4$.

Ответ: $s(0)=0$; $s(0,5)=6$; $s(1)=10$; $s(1,5)=15$; $s(2)=20$; $s(3)=4$.

Постройте график функции s(t)

График функции является кусочно-линейным и состоит из трех частей. Для построения найдем координаты конечных точек для каждого интервала.

1. Для интервала $0 \le t < \frac{5}{6}$ имеем $s(t) = 12t$.
При $t=0$, $s(0)=0$. Точка $(0, 0)$ — включена в график.
При $t \to \frac{5}{6}$, $s(t) \to 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$. Точка $(\frac{5}{6}, 10)$ — не включена (выколота).

2. Для интервала $\frac{5}{6} \le t < 3$ имеем $s(t) = 10t$.
При $t=\frac{5}{6}$, $s(\frac{5}{6}) = 10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8,33$. Точка $(\frac{5}{6}, \frac{25}{3})$ — включена.
При $t \to 3$, $s(t) \to 10 \cdot 3 = 30$. Точка $(3, 30)$ — не включена (выколота).

3. Для интервала $3 \le t \le 4$ имеем $s(t) = -3t + 13$.
При $t=3$, $s(3) = -3 \cdot 3 + 13 = 4$. Точка $(3, 4)$ — включена.
При $t=4$, $s(4) = -3 \cdot 4 + 13 = 1$. Точка $(4, 1)$ — включена.

На графике включенные точки обозначаются закрашенными кружками, а выколотые — пустыми.

Ответ: График функции представлен на рисунке выше.

Опишите с помощью графика, как происходило движение туриста

Проанализируем движение туриста, исходя из построенного графика и формул. Скорость туриста на каждом линейном участке постоянна и равна производной от функции расстояния $s(t)$ по времени $t$ (тангенсу угла наклона графика).

1. Участок 1 ($0 \le t < 5/6$ часа):
Функция $s(t) = 12t$. Скорость туриста постоянна и равна $s'(t)=12$ км/ч. Положительный наклон означает, что турист движется от базы. Он начинает путь от базы ($s(0)=0$) и за 50 минут ($t=5/6$ ч) удаляется на 10 км.

2. В момент времени $t = 5/6$ часа:
На графике наблюдается разрыв. Расстояние до базы мгновенно уменьшается с 10 км до $s(5/6) = 10 \cdot (5/6) = 25/3 \approx 8,33$ км. Такое движение физически нереалистично.

3. Участок 2 ($5/6 \le t < 3$ часа):
Функция $s(t) = 10t$. Турист продолжает двигаться от базы, но с новой постоянной скоростью $s'(t)=10$ км/ч. К моменту времени $t=3$ ч он должен был бы находиться на расстоянии $s=30$ км от базы.

4. В момент времени $t=3$ часа:
Происходит второй разрыв. Расстояние до базы мгновенно изменяется с 30 км до $s(3)=-3 \cdot 3 + 13 = 4$ км.

5. Участок 3 ($3 \le t \le 4$ часа):
Функция $s(t) = -3t + 13$. Скорость туриста постоянна и равна $s'(t)=-3$ км/ч. Знак "минус" означает, что турист движется в обратном направлении — к базе. Модуль скорости равен 3 км/ч. В конце пути, в момент времени $t=4$ ч, он находится на расстоянии $s(4)=1$ км от базы.

Ответ: Турист стартует от базы и движется от неё со скоростью 12 км/ч в течение 50 минут. Затем его положение мгновенно и необъяснимо меняется (он "перескакивает" ближе к базе). После этого он продолжает движение от базы со скоростью 10 км/ч до момента времени 3 часа, когда его положение снова мгновенно меняется, оказываясь значительно ближе к базе. Последний час турист движется к базе со скоростью 3 км/ч, завершая маршрут на расстоянии 1 км от неё.

9.37. В одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $f(x) = -2x + 4$ и $f(x) = x^2$;

2) $f(x) = |x - 2|$ и $f(x) = 2x^2$.

1) f(x) = -2x + 4 и f(x) = x²;

Для построения графиков функций $f(x) = -2x + 4$ и $f(x) = x^2$ в одной координатной плоскости, проанализируем каждую функцию.

1. График функции $y = -2x + 4$ — это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек. Найдем координаты этих точек:

- При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Получаем точку $(0; 4)$.

- При $y = 0$, $0 = -2x + 4$, откуда $2x = 4$ и $x = 2$. Получаем точку $(2; 0)$.

2. График функции $y = x^2$ — это стандартная парабола. Вершина параболы находится в начале координат $(0; 0)$, а ее ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:

- $(0; 0)$ — вершина

- $(1; 1)$ и $(-1; 1)$

- $(2; 4)$ и $(-2; 4)$

- $(3; 9)$ и $(-3; 9)$

Теперь построим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ:

2) f(x) = |x - 2| и f(x) = 2x²;

Для построения графиков функций $f(x) = |x - 2|$ и $f(x) = 2x^2$ в одной координатной плоскости, проанализируем каждую функцию.

1. График функции $y = |x - 2|$ — это график функции $y = |x|$ (так называемая "галочка"), сдвинутый на 2 единицы вправо по оси Ох. Вершина графика будет в точке $(2; 0)$.

Раскроем модуль, чтобы представить функцию кусочно-линейной:

- Если $x - 2 \ge 0$ (т.е. $x \ge 2$), то $y = x - 2$. Это прямая с угловым коэффициентом 1.

- Если $x - 2 < 0$ (т.е. $x < 2$), то $y = -(x - 2) = -x + 2$. Это прямая с угловым коэффициентом -1.

Ключевые точки: $(2; 0)$ (вершина), $(0; 2)$, $(1; 1)$, $(3; 1)$, $(4; 2)$.

2. График функции $y = 2x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вверх. Коэффициент 2 "сжимает" параболу к оси Оу, делая ее более "узкой" по сравнению с $y=x^2$.

Найдем несколько точек для построения:

- $(0; 0)$ — вершина

- $(1; 2)$ и $(-1; 2)$

- $(2; 8)$ и $(-2; 8)$

Теперь построим оба графика на одной координатной плоскости.

Ответ:

9.38. Найдите значения x, при которых выражение не имеет смысла:

1) $ \frac{2x - 1}{x + 3} $;

2) $ \frac{5x + 11}{x - 3} + \frac{1}{x + 2} $;

3) $ \frac{x - 31}{x - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 2}} $;

4) $ \frac{\sqrt{x + 1} + 11}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} $.

1) Выражение $\frac{2x - 1}{x + 3}$ является дробью. Дробь не имеет смысла, когда ее знаменатель равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

$x + 3 = 0$

$x = -3$

Следовательно, при $x = -3$ выражение не имеет смысла.

Ответ: при $x = -3$.

2) Выражение $\frac{5x + 11}{x - 3} + \frac{1}{x + 2}$ представляет собой сумму двух дробей. Выражение не будет иметь смысла, если знаменатель хотя бы одной из дробей равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

1) $x - 3 = 0 \implies x = 3$
2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = 3$ и при $x = -2$.

Ответ: при $x = 3$ и $x = -2$.

3) Выражение $\frac{x - 31}{x - 3} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ не имеет смысла в следующих случаях:
1) Когда знаменатель первой дроби равен нулю:
$x - 3 = 0 \implies x = 3$.
2) Когда подкоренное выражение во второй дроби отрицательно, так как корень из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел:
$x < 0$.
Знаменатель второй дроби $\sqrt{x} + 2$ не может быть равен нулю, так как $\sqrt{x} \ge 0$, следовательно $\sqrt{x} + 2 \ge 2$.

Объединяя эти условия, получаем, что выражение не имеет смысла при $x=3$ и при $x < 0$.

Ответ: при $x = 3$ и $x < 0$.

4) Выражение $\frac{\sqrt{x + 1} + 11}{x - 4} + \frac{1}{x + 3}$ не имеет смысла, если:
1) Подкоренное выражение в числителе первой дроби отрицательно:
$x + 1 < 0 \implies x < -1$.
2) Знаменатель первой дроби равен нулю:
$x - 4 = 0 \implies x = 4$.
3) Знаменатель второй дроби равен нулю:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Объединим все найденные значения. Условие $x = -3$ является частным случаем условия $x < -1$. Таким образом, выражение не имеет смысла при $x < -1$ и при $x = 4$.

Ответ: при $x < -1$ и $x = 4$.

9.39. Упростите выражение:

1) $\frac{3n + x}{nx} - \frac{1}{n - x} \cdot \left(\frac{n}{x} - \frac{x}{n}\right) - \frac{3}{n}$ и найдите его значение при $x = 4;$

$n = -0,4;$

2) $\frac{2a - x}{ax} - \frac{1}{a + x} \cdot \left(\frac{a}{x} - \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x - a}{2}$ и найдите его значение при

$a = 0,3; x = -2;$

3) $\left(\frac{1}{a} + \frac{2}{x - a}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2 + a^2}{x + a} - \frac{x}{a}\right) : \frac{1}{x} + a$ и найдите его значение при

$x = 2,3; a = -1,4.$

1) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $ \frac{3n+x}{nx} - \frac{1}{n-x} \cdot \left(\frac{n}{x} - \frac{x}{n}\right) - \frac{3}{n} $

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $nx$:
$ \frac{n}{x} - \frac{x}{n} = \frac{n \cdot n - x \cdot x}{nx} = \frac{n^2 - x^2}{nx} $

2. Используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя:
$ \frac{n^2 - x^2}{nx} = \frac{(n-x)(n+x)}{nx} $

3. Выполним умножение:
$ \frac{1}{n-x} \cdot \frac{(n-x)(n+x)}{nx} = \frac{n+x}{nx} $ (сократили на $n-x$)

4. Подставим полученное выражение обратно в исходное:
$ \frac{3n+x}{nx} - \frac{n+x}{nx} - \frac{3}{n} $

5. Выполним вычитание первых двух дробей с одинаковым знаменателем:
$ \frac{(3n+x) - (n+x)}{nx} = \frac{3n+x-n-x}{nx} = \frac{2n}{nx} = \frac{2}{x} $

6. Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{2}{x} - \frac{3}{n} $

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = 4$ и $n = -0,4$.
$ \frac{2}{4} - \frac{3}{-0,4} = \frac{1}{2} + \frac{3}{0,4} = 0,5 + \frac{3}{4/10} = 0,5 + 3 \cdot \frac{10}{4} = 0,5 + \frac{30}{4} = 0,5 + 7,5 = 8 $

Ответ: 8

2) Сначала упростим данное выражение. Выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $ \frac{2a-x}{ax} - \frac{1}{a+x} \cdot \left(\frac{a}{x} - \frac{x}{a}\right) + \frac{1}{a} \cdot \frac{x-a}{2} $

1. Упростим выражение в скобках:
$ \frac{a}{x} - \frac{x}{a} = \frac{a^2 - x^2}{ax} = \frac{(a-x)(a+x)}{ax} $

2. Выполним умножение в среднем члене выражения:
$ \frac{1}{a+x} \cdot \frac{(a-x)(a+x)}{ax} = \frac{a-x}{ax} $

3. Выполним умножение в последнем члене выражения:
$ \frac{1}{a} \cdot \frac{x-a}{2} = \frac{x-a}{2a} $

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$ \frac{2a-x}{ax} - \frac{a-x}{ax} + \frac{x-a}{2a} $

5. Выполним вычитание первых двух дробей с общим знаменателем $ax$:
$ \frac{(2a-x) - (a-x)}{ax} = \frac{2a-x-a+x}{ax} = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x} $

6. Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{1}{x} + \frac{x-a}{2a} $

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 0,3$ и $x = -2$.
$ \frac{1}{-2} + \frac{-2 - 0,3}{2 \cdot 0,3} = -\frac{1}{2} + \frac{-2,3}{0,6} = -0,5 - \frac{23}{6} = -\frac{3}{6} - \frac{23}{6} = -\frac{26}{6} = -\frac{13}{3} $

Ответ: $ -\frac{13}{3} $

3) Сначала упростим данное выражение. Порядок действий: умножение, деление, сложение.

Исходное выражение: $ \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{x-a}\right) \cdot \left(x - \frac{x^2+a^2}{x+a} - \frac{x}{a}\right) : \frac{1}{x} + a $

1. Упростим первую скобку:
$ \frac{1}{a} + \frac{2}{x-a} = \frac{x-a+2a}{a(x-a)} = \frac{x+a}{a(x-a)} $

2. Упростим вторую скобку. Сначала преобразуем первый член и разность:
$ x - \frac{x^2+a^2}{x+a} = \frac{x(x+a) - (x^2+a^2)}{x+a} = \frac{x^2+ax-x^2-a^2}{x+a} = \frac{ax-a^2}{x+a} = \frac{a(x-a)}{x+a} $
Теперь вторая скобка имеет вид:
$ \frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x}{a} $

3. Выполним умножение первой упрощенной скобки на вторую:
$ \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \left(\frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x}{a}\right) $
Раскроем скобки, умножив $ \frac{x+a}{a(x-a)} $ на каждый член внутри:
$ \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \frac{a(x-a)}{x+a} - \frac{x+a}{a(x-a)} \cdot \frac{x}{a} = 1 - \frac{x(x+a)}{a^2(x-a)} $

4. Теперь выполним деление на $ \frac{1}{x} $ (что эквивалентно умножению на $x$):
$ \left(1 - \frac{x(x+a)}{a^2(x-a)}\right) \cdot x = x - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} $

5. И, наконец, добавим $a$:
$ x - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} + a = x+a - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} $

Это и есть упрощенное выражение. Теперь найдем его значение при $x = 2,3$ и $a = -1,4$.
Вычислим значения некоторых частей выражения:
$ x+a = 2,3 + (-1,4) = 0,9 $
$ x-a = 2,3 - (-1,4) = 2,3 + 1,4 = 3,7 $
$ x^2 = (2,3)^2 = 5,29 $
$ a^2 = (-1,4)^2 = 1,96 $
Подставим эти значения в упрощенное выражение:
$ (x+a) - \frac{x^2(x+a)}{a^2(x-a)} = 0,9 - \frac{5,29 \cdot 0,9}{1,96 \cdot 3,7} = 0,9 - \frac{4,761}{7,252} $
Вынесем общий множитель $ (x+a) $ за скобку для удобства:
$ (x+a) \left(1 - \frac{x^2}{a^2(x-a)}\right) = 0,9 \left(1 - \frac{5,29}{1,96 \cdot 3,7}\right) = 0,9 \left(1 - \frac{5,29}{7,252}\right) $
Перейдем к обыкновенным дробям для точного расчета:
$ x = \frac{23}{10}, a = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5} $
$ x+a = \frac{9}{10} $
$ x-a = \frac{37}{10} $
$ x^2 = \frac{529}{100} $
$ a^2 = \frac{49}{25} $
$ \frac{x^2}{a^2(x-a)} = \frac{529/100}{(49/25) \cdot (37/10)} = \frac{529}{100} \cdot \frac{250}{49 \cdot 37} = \frac{529}{100_4} \cdot \frac{250^{10}}{1813} = \frac{529 \cdot 10}{4 \cdot 1813} = \frac{5290}{7252} = \frac{2645}{3626} $
Подставляем в выражение $ (x+a) \left(1 - \frac{x^2}{a^2(x-a)}\right) $:
$ \frac{9}{10} \left(1 - \frac{2645}{3626}\right) = \frac{9}{10} \left(\frac{3626 - 2645}{3626}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{981}{3626} = \frac{8829}{36260} $

Ответ: $ \frac{8829}{36260} $

9.40. Решите уравнение:

1) $3 + 2x - x^2 = 0;$

2) $5x^2 + 7 = 3(2-3x);$

3) $2x^3 + 7x^2 - 5 = x^2(2x+3);$

4) $x^2 + 7 = 3x(3-x).$

1)Исходное уравнение: $3 + 2x - x^2 = 0$.
Это квадратное уравнение. Для удобства решения умножим все члены уравнения на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным.
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Стандартный вид квадратного уравнения: $ax^2 + bx + c = 0$.
В нашем случае, $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.
Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корни находятся по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Ответ: -1; 3.

2)Исходное уравнение: $5x^2 + 7 = 3(2 - 3x)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$5x^2 + 7 = 6 - 9x$.
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$5x^2 + 9x + 7 - 6 = 0$.
$5x^2 + 9x + 1 = 0$.
Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a = 5$, $b = 9$, $c = 1$.
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 81 - 20 = 61$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 \pm \sqrt{61}}{10}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-9 + \sqrt{61}}{10}$ и $x_2 = \frac{-9 - \sqrt{61}}{10}$.
Ответ: $\frac{-9 - \sqrt{61}}{10}$; $\frac{-9 + \sqrt{61}}{10}$.

3)Исходное уравнение: $2x^3 + 7x^2 - 5 = x^2(2x + 3)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$2x^3 + 7x^2 - 5 = 2x^3 + 3x^2$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^3 - 2x^3 + 7x^2 - 3x^2 - 5 = 0$.
Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^3$ взаимно уничтожаются.
$4x^2 - 5 = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Перенесем свободный член в правую часть:
$4x^2 = 5$.
Разделим обе части на 4:
$x^2 = \frac{5}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{5}{4}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = -\frac{\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{5}}{2}$; $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

4)Исходное уравнение: $x^2 + 7 = 3x(3 - x)$.
Раскроем скобки в правой части:
$x^2 + 7 = 9x - 3x^2$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + 3x^2 - 9x + 7 = 0$.
$4x^2 - 9x + 7 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Здесь $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.
$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.
Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.