Страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.28. Найдите значение дроби:

1) $\frac{9 - x^2}{-5x^2 + 13x + 6}$;

2) $\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6}$;

3) $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$;

4) $\frac{2x^2 - 8x}{x^2 - 3x - 4}$ при $x = 1,5$; $-2$; $5,2$.

1) Чтобы найти значение дроби $\frac{9 - x^2}{-5x^2 + 13x + 6}$, упростим ее, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9 - x^2$ является разностью квадратов: $9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$.

Знаменатель $-5x^2 + 13x + 6$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $-5x^2 + 13x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(-5)(6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-13 + 17}{2(-5)} = \frac{4}{-10} = -\frac{2}{5}$ и $x_2 = \frac{-13 - 17}{2(-5)} = \frac{-30}{-10} = 3$.

Разложим знаменатель на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-5x^2 + 13x + 6 = -5(x - (-\frac{2}{5}))(x - 3) = -5(x + \frac{2}{5})(x - 3) = -(5x + 2)(x - 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(3 - x)(3 + x)}{-(5x + 2)(x - 3)} = \frac{-(x - 3)(x + 3)}{-(5x + 2)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(x - 3)$ (при условии $x \neq 3$):

$\frac{-(x + 3)}{-(5x + 2)} = \frac{x + 3}{5x + 2}$.

Ответ: $\frac{x + 3}{5x + 2}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 7x - 18$ найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9$, $x_2 = \frac{7 - 11}{2} = -2$.

Следовательно, числитель раскладывается на множители: $x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x + 2)$.

Для знаменателя $5x^2 - 13x - 6$ найдем корни уравнения $5x^2 - 13x - 6 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4(5)(-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни: $x_1 = \frac{13 + 17}{2(5)} = \frac{30}{10} = 3$, $x_2 = \frac{13 - 17}{2(5)} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Следовательно, знаменатель раскладывается на множители: $5x^2 - 13x - 6 = 5(x - 3)(x + \frac{2}{5}) = (5x + 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6} = \frac{(x - 9)(x + 2)}{(5x + 2)(x - 3)}$.

Общих множителей в числителе и знаменателе нет, поэтому дробь несократима.

Ответ: $\frac{(x - 9)(x + 2)}{(5x + 2)(x - 3)}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$. Попытаемся упростить ее.

Разложим числитель $x^2 - 7x - 8$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Теперь рассмотрим знаменатель $5x^2 - 3x + 8$. Найдем его дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(5)(8) = 9 - 160 = -151$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $5x^2 - 3x + 8$ не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители. Значит, у числителя и знаменателя нет общих множителей.

Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$.

4) Найдем значение дроби $\frac{2x^2 - 8x}{x^2 - 3x - 4}$ при $x = 1,5; -2; 5,2$.

Сначала упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 8x = 2x(x - 4)$.

Знаменатель: $x^2 - 3x - 4$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Теперь запишем дробь в разложенном виде и сократим ее (при $x \neq 4$ и $x \neq -1$):

$\frac{2x(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{2x}{x + 1}$.

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного значения $x$.

При $x = 1,5$:

$\frac{2 \cdot 1,5}{1,5 + 1} = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2$.

При $x = -2$:

$\frac{2 \cdot (-2)}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4$.

При $x = 5,2$:

$\frac{2 \cdot 5,2}{5,2 + 1} = \frac{10,4}{6,2} = \frac{104}{62} = \frac{52}{31}$.

Ответ: при $x = 1,5$ значение дроби равно $1,2$; при $x = -2$ значение равно $4$; при $x = 5,2$ значение равно $\frac{52}{31}$.

9.29. Найдите корни квадратного трехчлена и проверьте решение с помощью теоремы Виета:

1) $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1;$2) $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1;$

3) $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2;$4) $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}.$

1) Рассмотрим квадратный трехчлен $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1$.

Чтобы найти его корни, решим уравнение $\frac{3}{7}x^2 - 2\frac{1}{7}x - 1 = 0$.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{15}{7}$.

Уравнение принимает вид: $\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:

$7 \cdot \left(\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1\right) = 7 \cdot 0$

$3x^2 - 15x - 7 = 0$.

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами $a=3$, $b=-15$, $c=-7$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 225 + 84 = 309$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{15 + \sqrt{309}}{6}$

$x_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{309}}{2 \cdot 3} = \frac{15 - \sqrt{309}}{6}$

Теперь выполним проверку с помощью теоремы Виета. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ справедливы соотношения: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ и $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Для исходного уравнения $\frac{3}{7}x^2 - \frac{15}{7}x - 1 = 0$ коэффициенты равны $a = \frac{3}{7}$, $b = -\frac{15}{7}$, $c = -1$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-15/7}{3/7} = \frac{15}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3/7} = -1 \cdot \frac{7}{3} = -\frac{7}{3}$.

Проверим найденные нами корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{15 + \sqrt{309}}{6} + \frac{15 - \sqrt{309}}{6} = \frac{15 + \sqrt{309} + 15 - \sqrt{309}}{6} = \frac{30}{6} = 5$. Результат совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{15 + \sqrt{309}}{6}\right) \cdot \left(\frac{15 - \sqrt{309}}{6}\right) = \frac{15^2 - (\sqrt{309})^2}{6^2} = \frac{225 - 309}{36} = \frac{-84}{36} = -\frac{7}{3}$. Результат совпадает.

Ответ: $\frac{15 + \sqrt{309}}{6}; \frac{15 - \sqrt{309}}{6}$.

2) Рассмотрим квадратный трехчлен $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1$.

Найдем его корни, решив уравнение $\frac{2}{5}x^2 - 2\frac{4}{5}x + 1 = 0$.

Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$.

Уравнение примет вид: $\frac{2}{5}x^2 - \frac{14}{5}x + 1 = 0$.

Умножим обе части уравнения на 5:

$2x^2 - 14x + 5 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-14$, $c=5$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 196 - 40 = 156$.

Так как $D > 0$, есть два действительных корня. $\sqrt{156} = \sqrt{4 \cdot 39} = 2\sqrt{39}$.

$x_1 = \frac{-(-14) + 2\sqrt{39}}{2 \cdot 2} = \frac{14 + 2\sqrt{39}}{4} = \frac{7 + \sqrt{39}}{2}$

$x_2 = \frac{-(-14) - 2\sqrt{39}}{2 \cdot 2} = \frac{14 - 2\sqrt{39}}{4} = \frac{7 - \sqrt{39}}{2}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $\frac{2}{5}x^2 - \frac{14}{5}x + 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = \frac{2}{5}$, $b = -\frac{14}{5}$, $c = 1$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{-14/5}{2/5} = \frac{14}{2} = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{7 + \sqrt{39}}{2} + \frac{7 - \sqrt{39}}{2} = \frac{7 + \sqrt{39} + 7 - \sqrt{39}}{2} = \frac{14}{2} = 7$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{7 + \sqrt{39}}{2}\right) \cdot \left(\frac{7 - \sqrt{39}}{2}\right) = \frac{7^2 - (\sqrt{39})^2}{2^2} = \frac{49 - 39}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Совпадает.

Ответ: $\frac{7 + \sqrt{39}}{2}; \frac{7 - \sqrt{39}}{2}$.

3) Рассмотрим квадратный трехчлен $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2$.

Найдем его корни, решив уравнение $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2 = 0$.

Умножим обе части уравнения на -7, чтобы избавиться от дробей и сделать старший коэффициент положительным:

$-7 \cdot \left(-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2\right) = -7 \cdot 0$

$2x^2 - x - 14 = 0$.

Коэффициенты: $a=2$, $b=-1$, $c=-14$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 1 + 112 = 113$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + \sqrt{113}}{4}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{113}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - \sqrt{113}}{4}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $-\frac{2}{7}x^2 + \frac{1}{7}x + 2 = 0$.

Коэффициенты: $a = -\frac{2}{7}$, $b = \frac{1}{7}$, $c = 2$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{1/7}{-2/7} = \frac{1}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{-2/7} = -7$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{1 + \sqrt{113}}{4} + \frac{1 - \sqrt{113}}{4} = \frac{1 + \sqrt{113} + 1 - \sqrt{113}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{1 + \sqrt{113}}{4}\right) \cdot \left(\frac{1 - \sqrt{113}}{4}\right) = \frac{1^2 - (\sqrt{113})^2}{4^2} = \frac{1 - 113}{16} = \frac{-112}{16} = -7$. Совпадает.

Ответ: $\frac{1 + \sqrt{113}}{4}; \frac{1 - \sqrt{113}}{4}$.

4) Рассмотрим квадратный трехчлен $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}$.

Найдем его корни, решив уравнение $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} = 0$.

Умножим обе части уравнения на -15 (наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, взятое с отрицательным знаком):

$-15 \cdot \left(-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5}\right) = -15 \cdot 0$

$3x^2 + 5x - 9 = 0$.

Коэффициенты: $a=3$, $b=5$, $c=-9$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 25 + 108 = 133$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{133}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + \sqrt{133}}{6}$

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{133}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - \sqrt{133}}{6}$

Проверка по теореме Виета для уравнения $-\frac{1}{5}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{3}{5} = 0$.

Коэффициенты: $a = -\frac{1}{5}$, $b = -\frac{1}{3}$, $c = \frac{3}{5}$.

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1/3}{-1/5} = -\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{1}\right) = -\frac{5}{3}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3/5}{-1/5} = -3$.

Проверим наши корни:

Сумма: $x_1 + x_2 = \frac{-5 + \sqrt{133}}{6} + \frac{-5 - \sqrt{133}}{6} = \frac{-5 + \sqrt{133} - 5 - \sqrt{133}}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$. Совпадает.

Произведение: $x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{-5 + \sqrt{133}}{6}\right) \cdot \left(\frac{-5 - \sqrt{133}}{6}\right) = \frac{(-5)^2 - (\sqrt{133})^2}{6^2} = \frac{25 - 133}{36} = \frac{-108}{36} = -3$. Совпадает.

Ответ: $\frac{-5 + \sqrt{133}}{6}; \frac{-5 - \sqrt{133}}{6}$.

9.30. Докажите, что имеют общий корень квадратные трехчлены:

1) $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$;

2) $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$.

1) Чтобы доказать, что квадратные трехчлены $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$ имеют общий корень, воспользуемся свойством, что если такой корень $x_0$ существует, то он обращает в ноль оба трехчлена, а следовательно, и их сумму.

Найдем сумму данных трехчленов:

$(14x^2 + 19x - 3) + (-14x^2 + 37x - 5) = (14-14)x^2 + (19+37)x + (-3-5) = 56x - 8$.

Найдем корень получившегося линейного уравнения. Этот корень является единственным кандидатом на общий корень исходных трехчленов.

$56x - 8 = 0$

$56x = 8$

$x = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$

Проверим, является ли $x = \frac{1}{7}$ корнем первого трехчлена, подставив это значение в него:

$14(\frac{1}{7})^2 + 19(\frac{1}{7}) - 3 = 14 \cdot \frac{1}{49} + \frac{19}{7} - 3 = \frac{2}{7} + \frac{19}{7} - 3 = \frac{21}{7} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Поскольку значение трехчлена обратилось в ноль, $x = \frac{1}{7}$ является его корнем. Таким образом, доказано, что данные трехчлены имеют общий корень.

Ответ: Трехчлены $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$ имеют общий корень $x = \frac{1}{7}$.

2) Для трехчленов $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$ применим тот же метод. Найдем их сумму:

$(-15x^2 + 4x + 4) + (15x^2 + x - 2) = (-15+15)x^2 + (4+1)x + (4-2) = 5x + 2$.

Найдем корень получившегося линейного уравнения:

$5x + 2 = 0$

$5x = -2$

$x = -\frac{2}{5}$

Проверим, является ли $x = -\frac{2}{5}$ корнем второго трехчлена:

$15(-\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5}) - 2 = 15 \cdot \frac{4}{25} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{60}{25} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{12}{5} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{10}{5} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Поскольку значение трехчлена обратилось в ноль, $x = -\frac{2}{5}$ является его корнем. Таким образом, доказано, что данные трехчлены имеют общий корень.

Ответ: Трехчлены $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$ имеют общий корень $x = -\frac{2}{5}$.

9.31*. При каких значениях параметра $a$ имеют общий корень двучлены:

1) $x^2 + ax$ и $x^2 - 9$;

2) $x^2 - a$ и $x^2 + 6x$;

3) $2x^2 + 3ax$ и $4x^2 - 9$?

1) $x^2 + ax$ и $x^2 - 9$

Пусть $x_0$ – общий корень данных двучленов. Это означает, что при подстановке $x_0$ в оба выражения, они оба обращаются в ноль. Таким образом, мы получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x_0^2 + ax_0 = 0 \\ x_0^2 - 9 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения находим возможные значения общего корня $x_0$:
$x_0^2 - 9 = 0$
$x_0^2 = 9$
$x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.

Теперь рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения параметра $a$.

Случай 1: $x_0 = 3$.
Подставляем в первое уравнение: $3^2 + a \cdot 3 = 0$
$9 + 3a = 0$
$3a = -9$
$a = -3$.

Случай 2: $x_0 = -3$.
Подставляем в первое уравнение: $(-3)^2 + a \cdot (-3) = 0$
$9 - 3a = 0$
$3a = 9$
$a = 3$.

Таким образом, двучлены имеют общий корень при $a = 3$ и $a = -3$.

Ответ: $a = -3$ или $a = 3$.

2) $x^2 - a$ и $x^2 + 6x$

Пусть $x_0$ – общий корень. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x_0^2 - a = 0 \\ x_0^2 + 6x_0 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения найдем возможные значения $x_0$:
$x_0(x_0 + 6) = 0$
$x_0 = 0$ или $x_0 = -6$.

Рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение $x_0^2 - a = 0$ (или $a = x_0^2$).

Случай 1: $x_0 = 0$.
$a = 0^2$
$a = 0$.

Случай 2: $x_0 = -6$.
$a = (-6)^2$
$a = 36$.

Следовательно, двучлены имеют общий корень при $a = 0$ и $a = 36$.

Ответ: $a = 0$ или $a = 36$.

3) $2x^2 + 3ax$ и $4x^2 - 9$

Пусть $x_0$ – общий корень. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x_0^2 + 3ax_0 = 0 \\ 4x_0^2 - 9 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения найдем возможные значения $x_0$:
$4x_0^2 = 9$
$x_0^2 = \frac{9}{4}$
$x_0 = \frac{3}{2}$ или $x_0 = -\frac{3}{2}$.

Рассмотрим два случая, подставляя найденные значения $x_0$ в первое уравнение.

Случай 1: $x_0 = \frac{3}{2}$.
$2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3a\left(\frac{3}{2}\right) = 0$
$2\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9}{2} + \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9a}{2} = -\frac{9}{2}$
$a = -1$.

Случай 2: $x_0 = -\frac{3}{2}$.
$2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3a\left(-\frac{3}{2}\right) = 0$
$2\left(\frac{9}{4}\right) - \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9}{2} - \frac{9a}{2} = 0$
$\frac{9a}{2} = \frac{9}{2}$
$a = 1$.

Следовательно, двучлены имеют общий корень при $a = -1$ и $a = 1$.

Ответ: $a = -1$ или $a = 1$.

9.32. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11;$

2) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3};$

3) $\frac{2x^2 - x - 0,5}{2} = \frac{8x - 7}{4}.$

1) $\frac{x^2 - 1}{2} - 11x = 11$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot \frac{x^2 - 1}{2} - 2 \cdot 11x = 2 \cdot 11$

$x^2 - 1 - 22x = 22$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 22x - 1 - 22 = 0$

$x^2 - 22x - 23 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант. Коэффициенты: $a=1$, $b=-22$, $c=-23$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-23) = 484 + 92 = 576$

Так как $D > 0$, у уравнения два корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$

$x_1 = \frac{22 + 24}{2 \cdot 1} = \frac{46}{2} = 23$

$x_2 = \frac{22 - 24}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: -1; 23.

2) $\frac{x^2 + x}{2} = \frac{8x - 7}{3}$

Применим основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$3(x^2 + x) = 2(8x - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x^2 + 3x = 16x - 14$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3x^2 + 3x - 16x + 14 = 0$

$3x^2 - 13x + 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=3$, $b=-13$, $c=14$.

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 14 = 169 - 168 = 1$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-(-13) + 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 1}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-13) - 1}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 1}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Ответ: 2; $2\frac{1}{3}$.

3) $\frac{2x^2 - x - 0,5}{2} = \frac{8x - 7}{4}$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 4:

$4 \cdot \frac{2x^2 - x - 0.5}{2} = 4 \cdot \frac{8x - 7}{4}$

$2(2x^2 - x - 0.5) = 8x - 7$

Раскроем скобки:

$4x^2 - 2x - 1 = 8x - 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 2x - 8x - 1 + 7 = 0$

$4x^2 - 10x + 6 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$2x^2 - 5x + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2$, $b=-5$, $c=3$.

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$

$x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Ответ: 1; 1,5.

9.33. Разложите на множители многочлен:

1) $4x^2 + 2xy - 6x - 3y;$

2) $4a^3 + 2c^3 - 2a^2c - 4ac^2.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $4x^2 + 2xy - 6x - 3y$, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем члены попарно: первый со вторым и третий с четвертым.

$4x^2 + 2xy - 6x - 3y = (4x^2 + 2xy) + (-6x - 3y)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $2x$, а из второй группы вынесем $-3$.

$2x(2x + y) - 3(2x + y)$

Теперь видно, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(2x + y)$. Вынесем его за скобки, чтобы получить окончательное разложение:

$(2x + y)(2x - 3)$

Ответ: $(2x + y)(2x - 3)$

2) Для разложения на множители многочлена $4a^3 + 2c^3 - 2a^2c - 4ac^2$ сначала перегруппируем его члены для удобства.

$4a^3 - 2a^2c - 4ac^2 + 2c^3 = (4a^3 - 2a^2c) + (-4ac^2 + 2c^3)$

Вынесем из каждой группы общие множители. Из первой группы выносим $2a^2$, из второй — $-2c^2$.

$2a^2(2a - c) - 2c^2(2a - c)$

Теперь выносим за скобки общий множитель $(2a - c)$.

$(2a - c)(2a^2 - 2c^2)$

Заметим, что второй множитель, $(2a^2 - 2c^2)$, можно разложить дальше. Сначала вынесем общий множитель 2:

$2(a^2 - c^2)$

Теперь применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к выражению в скобках:

$2(a - c)(a + c)$

Таким образом, полное разложение исходного многочлена имеет вид:

$(2a - c) \cdot 2(a - c)(a + c) = 2(2a - c)(a - c)(a + c)$

Ответ: $2(2a - c)(a - c)(a + c)$

9.34. В какой координатной четверти расположена точка пересечения графиков функций:

1) $f(x) = 0.4x + 3.1$ и $g(x) = -0.8x + 3.6$;

2) $f(x) = -0.8x + 3.5$ и $g(x) = \sqrt{x+5}$;

3) $f(x) = 0.2x - 1.2$ и $g(x) = \frac{1}{x}$?

1) Чтобы найти точку пересечения графиков функций $f(x) = 0,4x + 3,1$ и $g(x) = -0,8x + 3,6$, нужно приравнять их друг к другу, то есть решить уравнение $f(x) = g(x)$.
$0,4x + 3,1 = -0,8x + 3,6$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$0,4x + 0,8x = 3,6 - 3,1$
$1,2x = 0,5$
$x = \frac{0,5}{1,2} = \frac{5}{12}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив найденный $x$ в уравнение одной из функций, например, в $f(x)$:
$y = 0,4 \cdot (\frac{5}{12}) + 3,1 = \frac{4}{10} \cdot \frac{5}{12} + 3,1 = \frac{2}{12} + 3,1 = \frac{1}{6} + 3,1$
Мы получили координаты точки пересечения: $x = \frac{5}{12}$ и $y = \frac{1}{6} + 3,1$.
Так как $x = \frac{5}{12} > 0$ и $y = \frac{1}{6} + 3,1 > 0$, точка пересечения расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в I координатной четверти.

2) Чтобы найти точку пересечения графиков функций $f(x) = -0,8x + 3,5$ и $g(x) = \sqrt{x+5}$, решим уравнение $f(x) = g(x)$.
$-0,8x + 3,5 = \sqrt{x+5}$
Определим область допустимых значений. Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$. Во-вторых, значение квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $-0,8x + 3,5 \ge 0$, что равносильно $3,5 \ge 0,8x$, или $x \le \frac{3,5}{0,8} = 4,375$. Таким образом, искомый $x$ должен лежать в промежутке $[-5; 4,375]$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$(-0,8x + 3,5)^2 = (\sqrt{x+5})^2$
$0,64x^2 - 2 \cdot 0,8x \cdot 3,5 + 3,5^2 = x+5$
$0,64x^2 - 5,6x + 12,25 = x+5$
$0,64x^2 - 6,6x + 7,25 = 0$
Для удобства умножим уравнение на 100: $64x^2 - 660x + 725 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-660)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 725 = 435600 - 185600 = 250000$.
Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{660 \pm \sqrt{250000}}{2 \cdot 64} = \frac{660 \pm 500}{128}$.
$x_1 = \frac{660 + 500}{128} = \frac{1160}{128} = \frac{145}{16} = 9,0625$. Этот корень не входит в область допустимых значений ($9,0625 > 4,375$), поэтому он является посторонним.
$x_2 = \frac{660 - 500}{128} = \frac{160}{128} = \frac{5}{4} = 1,25$. Этот корень удовлетворяет условию $x \in [-5; 4,375]$.
Найдем координату $y$, подставив $x = 1,25$ в уравнение для $g(x)$:
$y = \sqrt{1,25+5} = \sqrt{6,25} = 2,5$.
Координаты точки пересечения $(1,25; 2,5)$.
Поскольку $x > 0$ и $y > 0$, точка пересечения расположена в первой координатной четверти.
Ответ: в I координатной четверти.

3) Чтобы найти точку(и) пересечения графиков функций $f(x) = 0,2x - 1,2$ и $g(x) = \frac{1}{x}$, решим уравнение $f(x) = g(x)$.
$0,2x - 1,2 = \frac{1}{x}$
Умножим обе части на $x$ (при условии, что $x \ne 0$):
$x(0,2x - 1,2) = 1$
$0,2x^2 - 1,2x - 1 = 0$
Умножим уравнение на 10 для избавления от дробей: $2x^2 - 12x - 10 = 0$.
Разделим на 2: $x^2 - 6x - 5 = 0$.
Решим квадратное уравнение: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14}$.
В данном случае мы получили два значения $x$, что означает наличие двух точек пересечения.
1. Первая точка: $x_1 = 3 + \sqrt{14}$. Так как $\sqrt{14}$ — положительное число, $x_1 > 0$. Найдем $y_1 = \frac{1}{x_1} = \frac{1}{3+\sqrt{14}}$. Поскольку $x_1 > 0$, то и $y_1 > 0$. Значит, эта точка $(x_1, y_1)$ лежит в I координатной четверти.
2. Вторая точка: $x_2 = 3 - \sqrt{14}$. Так как $3^2=9$, а $(\sqrt{14})^2=14$, то $3 < \sqrt{14}$. Следовательно, $x_2 = 3 - \sqrt{14} < 0$. Найдем $y_2 = \frac{1}{x_2} = \frac{1}{3-\sqrt{14}}$. Поскольку $x_2 < 0$, то и $y_2 < 0$. Значит, эта точка $(x_2, y_2)$ лежит в III координатной четверти.
Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.
Ответ: в I и III координатных четвертях.

9.35. Постройте график функции:

1) $f(x) = 2x + 3,1;$

2) $f(x) = -1,4x + 3;$

3) $f(x) = 3x - 3,4;$

4) $f(x) = 0,75x^2;$

5) $f(x) = -0,75x^2;$

6) $f(x) = 1\frac{1}{3}x^2.$

1)

Функция $f(x) = 2x + 3,1$ — линейная, её график представляет собой прямую. Для построения прямой линии достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.
1. Возьмем $x = 0$. Тогда $f(0) = 2 \cdot 0 + 3,1 = 3,1$. Получаем точку A(0; 3,1).
2. Возьмем $x = -1$. Тогда $f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3,1 = -2 + 3,1 = 1,1$. Получаем точку B(-1; 1,1).
Теперь построим график, проведя прямую через точки A и B.

Ответ:

2)

Функция $f(x) = -1,4x + 3$ — линейная, её график — прямая. Найдем координаты двух точек.
1. При $x = 0$, $f(0) = -1,4 \cdot 0 + 3 = 3$. Точка A(0; 3).
2. При $x = 2$, $f(2) = -1,4 \cdot 2 + 3 = -2,8 + 3 = 0,2$. Точка B(2; 0,2).
Проведем прямую через точки A и B.

Ответ:

3)

Функция $f(x) = 3x - 3,4$ — линейная, её график — прямая. Найдем координаты двух точек.
1. При $x = 1$, $f(1) = 3 \cdot 1 - 3,4 = -0,4$. Точка A(1; -0,4).
2. При $x = 2$, $f(2) = 3 \cdot 2 - 3,4 = 6 - 3,4 = 2,6$. Точка B(2; 2,6).
Проведем прямую через точки A и B.

Ответ:

4)

Функция $f(x) = 0,75x^2$ — квадратичная. Её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($0,75 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, точке (0; 0). Для построения найдем несколько точек, составив таблицу значений.
$x = 0, y = 0,75 \cdot 0^2 = 0$
$x = 1, y = 0,75 \cdot 1^2 = 0,75$
$x = 2, y = 0,75 \cdot 2^2 = 0,75 \cdot 4 = 3$
$x = -1, y = 0,75 \cdot (-1)^2 = 0,75$
$x = -2, y = 0,75 \cdot (-2)^2 = 3$
Соединим полученные точки плавной кривой.

Ответ:

5)

Функция $f(x) = -0,75x^2$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-0,75 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы — в точке (0; 0). Этот график является зеркальным отражением графика из предыдущего пункта относительно оси Ox.
$x = 0, y = -0,75 \cdot 0^2 = 0$
$x = 1, y = -0,75 \cdot 1^2 = -0,75$
$x = 2, y = -0,75 \cdot 2^2 = -3$
$x = -1, y = -0,75 \cdot (-1)^2 = -0,75$
$x = -2, y = -0,75 \cdot (-2)^2 = -3$
Соединим точки плавной кривой.

Ответ:

6)

Функция $f(x) = \frac{1}{3}x^2$ — квадратичная, её график — парабола. Коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке (0; 0). Эта парабола будет "шире", чем парабола $y = x^2$. Составим таблицу значений, выбирая $x$, кратные 3, для удобства вычислений.
$x = 0, y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$
$x = 3, y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = 3$
$x = -3, y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = 3$
$x = 1.5, y = \frac{1}{3} \cdot (1.5)^2 = \frac{2.25}{3} = 0.75$
$x = -1.5, y = \frac{1}{3} \cdot (-1.5)^2 = 0.75$
Соединим точки плавной кривой.

Ответ: