Номер 9.28, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.28. Найдите значение дроби:

1) $\frac{9 - x^2}{-5x^2 + 13x + 6}$;

2) $\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6}$;

3) $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$;

4) $\frac{2x^2 - 8x}{x^2 - 3x - 4}$ при $x = 1,5$; $-2$; $5,2$.

1) Чтобы найти значение дроби $\frac{9 - x^2}{-5x^2 + 13x + 6}$, упростим ее, разложив числитель и знаменатель на множители.

Числитель $9 - x^2$ является разностью квадратов: $9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$.

Знаменатель $-5x^2 + 13x + 6$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $-5x^2 + 13x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4(-5)(6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-13 + 17}{2(-5)} = \frac{4}{-10} = -\frac{2}{5}$ и $x_2 = \frac{-13 - 17}{2(-5)} = \frac{-30}{-10} = 3$.

Разложим знаменатель на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-5x^2 + 13x + 6 = -5(x - (-\frac{2}{5}))(x - 3) = -5(x + \frac{2}{5})(x - 3) = -(5x + 2)(x - 3)$.

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{(3 - x)(3 + x)}{-(5x + 2)(x - 3)} = \frac{-(x - 3)(x + 3)}{-(5x + 2)(x - 3)}$.

Сократим общий множитель $(x - 3)$ (при условии $x \neq 3$):

$\frac{-(x + 3)}{-(5x + 2)} = \frac{x + 3}{5x + 2}$.

Ответ: $\frac{x + 3}{5x + 2}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Для числителя $x^2 - 7x - 18$ найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$.

Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни: $x_1 = \frac{7 + 11}{2} = 9$, $x_2 = \frac{7 - 11}{2} = -2$.

Следовательно, числитель раскладывается на множители: $x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x + 2)$.

Для знаменателя $5x^2 - 13x - 6$ найдем корни уравнения $5x^2 - 13x - 6 = 0$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4(5)(-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни: $x_1 = \frac{13 + 17}{2(5)} = \frac{30}{10} = 3$, $x_2 = \frac{13 - 17}{2(5)} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Следовательно, знаменатель раскладывается на множители: $5x^2 - 13x - 6 = 5(x - 3)(x + \frac{2}{5}) = (5x + 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{x^2 - 7x - 18}{5x^2 - 13x - 6} = \frac{(x - 9)(x + 2)}{(5x + 2)(x - 3)}$.

Общих множителей в числителе и знаменателе нет, поэтому дробь несократима.

Ответ: $\frac{(x - 9)(x + 2)}{(5x + 2)(x - 3)}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$. Попытаемся упростить ее.

Разложим числитель $x^2 - 7x - 8$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x - 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - 7x - 8 = (x - 8)(x + 1)$.

Теперь рассмотрим знаменатель $5x^2 - 3x + 8$. Найдем его дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4(5)(8) = 9 - 160 = -151$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратный трехчлен $5x^2 - 3x + 8$ не имеет действительных корней и не может быть разложен на линейные множители. Значит, у числителя и знаменателя нет общих множителей.

Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{x^2 - 7x - 8}{5x^2 - 3x + 8}$.

4) Найдем значение дроби $\frac{2x^2 - 8x}{x^2 - 3x - 4}$ при $x = 1,5; -2; 5,2$.

Сначала упростим выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 8x = 2x(x - 4)$.

Знаменатель: $x^2 - 3x - 4$. Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$.

Теперь запишем дробь в разложенном виде и сократим ее (при $x \neq 4$ и $x \neq -1$):

$\frac{2x(x - 4)}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{2x}{x + 1}$.

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного значения $x$.

При $x = 1,5$:

$\frac{2 \cdot 1,5}{1,5 + 1} = \frac{3}{2,5} = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} = 1,2$.

При $x = -2$:

$\frac{2 \cdot (-2)}{-2 + 1} = \frac{-4}{-1} = 4$.

При $x = 5,2$:

$\frac{2 \cdot 5,2}{5,2 + 1} = \frac{10,4}{6,2} = \frac{104}{62} = \frac{52}{31}$.

Ответ: при $x = 1,5$ значение дроби равно $1,2$; при $x = -2$ значение равно $4$; при $x = 5,2$ значение равно $\frac{52}{31}$.