Номер 9.26, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.26. 1) $ \frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33} $;

2) $ \frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} $;

3) $ \frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21} $;

4) $ \frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33}$, разложим числитель и знаменатель на множители. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.

Рассмотрим числитель: $x^2 - 9x - 22$.

Решим уравнение $x^2 - 9x - 22 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 13}{2} = \frac{22}{2} = 11$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 13}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Таким образом, $x^2 - 9x - 22 = (x - 11)(x - (-2)) = (x - 11)(x + 2)$.

Рассмотрим знаменатель: $x^2 - 8x - 33$.

Решим уравнение $x^2 - 8x - 33 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-33) = 64 + 132 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 14}{2} = \frac{22}{2} = 11$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 14}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, $x^2 - 8x - 33 = (x - 11)(x - (-3)) = (x - 11)(x + 3)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь и сократим:

$\frac{x^2 - 9x - 22}{x^2 - 8x - 33} = \frac{(x - 11)(x + 2)}{(x - 11)(x + 3)} = \frac{x + 2}{x + 3}$.

Ответ: $\frac{x + 2}{x + 3}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $x^2 - 8x + 15$.

Решим уравнение $x^2 - 8x + 15 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.

Таким образом, $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.

Рассмотрим знаменатель: $-x^2 + 5x - 6$.

Вынесем $-1$ за скобки: $-(x^2 - 5x + 6)$.

Решим уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Таким образом, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, а знаменатель равен $-(x - 2)(x - 3)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{x^2 - 8x + 15}{-x^2 + 5x - 6} = \frac{(x - 3)(x - 5)}{-(x - 2)(x - 3)} = \frac{x - 5}{-(x - 2)} = -\frac{x - 5}{x - 2} = \frac{5 - x}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{5 - x}{x - 2}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $-2x^2 + 12x - 18$.

Вынесем общий множитель $-2$ за скобки: $-2(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.

Таким образом, числитель равен $-2(x - 3)^2$.

Рассмотрим знаменатель: $x^2 + 4x - 21$.

Решим уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -21$. Подбором находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.

Таким образом, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x - (-7)) = (x - 3)(x + 7)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{-2x^2 + 12x - 18}{x^2 + 4x - 21} = \frac{-2(x - 3)^2}{(x - 3)(x + 7)} = \frac{-2(x - 3)}{x + 7}$.

Ответ: $\frac{-2(x - 3)}{x + 7}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Рассмотрим числитель: $2x^2 - 3x - 2$.

Решим уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)(x + \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x + 1)$.

Рассмотрим знаменатель: $2x^2 - 5x - 3$.

Решим уравнение $2x^2 - 5x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$;

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$.

Подставим разложения в дробь и сократим:

$\frac{2x^2 - 3x - 2}{2x^2 - 5x - 3} = \frac{(x - 2)(2x + 1)}{(x - 3)(2x + 1)} = \frac{x - 2}{x - 3}$.

Ответ: $\frac{x - 2}{x - 3}$.