Номер 9.22, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.22. 1) $2x^3 - 5x^2 - 7x;$

2) $-2x^3 + 5x^2 + 7x;$

3) $-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x;$

4) $-6x^3 + 7x^2 - 2x.$

1) Для разложения на множители многочлена $2x^3 - 5x^2 - 7x$ первым шагом вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$2x^3 - 5x^2 - 7x = x(2x^2 - 5x - 7)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2 - 5x - 7$. Для этого найдем его корни, решив квадратное уравнение $2x^2 - 5x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 - 5x - 7 = 2(x - \frac{7}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{7}{2})(x + 1)$

Чтобы избавиться от дроби, умножим первый двучлен на 2:

$(2x - 7)(x + 1)$

Объединим все множители и получим окончательный результат:

Ответ: $x(2x - 7)(x + 1)$.

2) Для разложения на множители многочлена $-2x^3 + 5x^2 + 7x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки. Это позволит получить в скобках выражение с положительным старшим коэффициентом.

$-2x^3 + 5x^2 + 7x = -x(2x^2 - 5x - 7)$

Выражение в скобках, $2x^2 - 5x - 7$, полностью совпадает с квадратным трехчленом из предыдущего пункта. Мы уже нашли его разложение на множители: $(2x - 7)(x + 1)$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$-x(2x - 7)(x + 1)$

Ответ: $-x(2x - 7)(x + 1)$.

3) Для разложения на множители многочлена $-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки.

$-2x^3 + 2x^2 - \frac{1}{4}x = -x(2x^2 - 2x + \frac{1}{4})$

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $2x^2 - 2x + \frac{1}{4}$, решив уравнение $2x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = 4 - 2 = 2$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$ и $x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$.

Разложим квадратный трехчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{4} = 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$-x \left[ 2(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4}) \right] = -2x(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$

Ответ: $-2x(x - \frac{2 + \sqrt{2}}{4})(x - \frac{2 - \sqrt{2}}{4})$.

4) Для разложения на множители многочлена $-6x^3 + 7x^2 - 2x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки.

$-6x^3 + 7x^2 - 2x = -x(6x^2 - 7x + 2)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $6x^2 - 7x + 2$ через решение уравнения $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Разложим квадратный трехчлен по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$6x^2 - 7x + 2 = 6(x - \frac{2}{3})(x - \frac{1}{2})$

Для упрощения представим множитель 6 как $3 \cdot 2$ и внесем каждый из множителей в соответствующую скобку:

$3(x - \frac{2}{3}) \cdot 2(x - \frac{1}{2}) = (3x - 2)(2x - 1)$

Запишем окончательное разложение исходного многочлена:

$-x(3x - 2)(2x - 1)$

Ответ: $-x(3x - 2)(2x - 1)$.