Номер 9.23, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.23. 1) $x^2 \cdot (x-5)^3 - 36x + 180$;

2) $81(x-1)^3 + 4x^4 - 4x^5$.

1)

Требуется разложить на множители выражение $x^2 \cdot (x-5)^3 - 36x + 180$.

Сначала сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель за скобки:

$-36x + 180 = -36(x - 5)$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$x^2(x-5)^3 - 36(x-5)$.

Мы видим общий множитель $(x-5)$, который можно вынести за скобки:

$(x-5)(x^2(x-5)^2 - 36)$.

Выражение во второй скобке, $x^2(x-5)^2 - 36$, является разностью квадратов. Его можно представить в виде $a^2 - b^2$, где $a = x(x-5)$ и $b=6$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2(x-5)^2 - 36 = (x(x-5))^2 - 6^2 = (x(x-5) - 6)(x(x-5) + 6)$.

Раскроем скобки внутри каждого из полученных множителей:

Первый множитель: $x(x-5) - 6 = x^2 - 5x - 6$.

Второй множитель: $x(x-5) + 6 = x^2 - 5x + 6$.

Теперь необходимо разложить на множители полученные квадратные трехчлены.

Для трехчлена $x^2 - 5x - 6$, по теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $5$. Это числа $6$ и $-1$. Следовательно:

$x^2 - 5x - 6 = (x-6)(x+1)$.

Для трехчлена $x^2 - 5x + 6$, по теореме Виета, найдем два числа, произведение которых равно $6$, а сумма равна $5$. Это числа $2$ и $3$. Следовательно:

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.

Собираем все множители вместе, чтобы получить окончательное разложение:

$(x-5)(x-6)(x+1)(x-2)(x-3)$.

Расположим множители в порядке возрастания корней для удобства:

$(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)$.

Ответ: $(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)$.

2)

Требуется разложить на множители выражение $81(x-1)^3 + 4x^4 - 4x^5$.

Вынесем общий множитель из последних двух слагаемых:

$4x^4 - 4x^5 = 4x^4(1-x)$.

Так как $(1-x) = -(x-1)$, то выражение можно переписать как $-4x^4(x-1)$.

Подставим это в исходное выражение:

$81(x-1)^3 - 4x^4(x-1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)[81(x-1)^2 - 4x^4]$.

Выражение в квадратных скобках представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 9(x-1)$ и $b=2x^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$[9(x-1) - 2x^2][9(x-1) + 2x^2]$.

Раскроем скобки в каждом из полученных множителей:

Первый множитель: $9(x-1) - 2x^2 = 9x - 9 - 2x^2 = -2x^2 + 9x - 9$.

Второй множитель: $9(x-1) + 2x^2 = 9x - 9 + 2x^2 = 2x^2 + 9x - 9$.

Полное выражение теперь выглядит так: $(x-1)(-2x^2 + 9x - 9)(2x^2 + 9x - 9)$.

Из первого квадратного трехчлена вынесем знак минус: $-2x^2 + 9x - 9 = -(2x^2 - 9x + 9)$.

Теперь разложим на множители трехчлен $2x^2 - 9x + 9$. Для этого найдем его корни. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{9+3}{4} = 3$; $x_2 = \frac{9-3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, $2x^2 - 9x + 9 = 2(x-3)(x-\frac{3}{2}) = (x-3)(2x-3)$.

Для трехчлена $2x^2 + 9x - 9$ дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 81 + 72 = 153$. Так как корень из $153$ иррационален, этот множитель не раскладывается на множители с целыми или рациональными коэффициентами, поэтому оставим его в исходном виде.

Соберем все множители вместе, учитывая вынесенный знак минус:

$-(x-1)(x-3)(2x-3)(2x^2+9x-9)$.

Ответ: $-(x-1)(x-3)(2x-3)(2x^2+9x-9)$.