Номер 9.17, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.17. 1) $3 - 5n - n^2;$

2) $2 - 3n - 2n^2;$

3) $-11n^2 + 3n + 14;$

4) $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $3 - 5n - n^2$, сначала запишем его в стандартном виде: $-n^2 - 5n + 3$.
Для разложения на множители используем формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$.
Приравняем трехчлен к нулю, чтобы найти его корни: $-n^2 - 5n + 3 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $n^2 + 5n - 3 = 0$.
Теперь найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$ для этого уравнения, где $a=1$, $b=5$, $c=-3$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Итак, $n_1 = \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}$ и $n_2 = \frac{-5 - \sqrt{37}}{2}$.
Коэффициент $a$ в исходном трехчлене $-n^2 - 5n + 3$ равен $-1$.
Подставляем значения $a$, $n_1$ и $n_2$ в формулу разложения:
$-1 \left( n - \frac{-5 + \sqrt{37}}{2} \right) \left( n - \frac{-5 - \sqrt{37}}{2} \right) = -\left( n + \frac{5 - \sqrt{37}}{2} \right) \left( n + \frac{5 + \sqrt{37}}{2} \right)$.
Ответ: $-\left( n + \frac{5 - \sqrt{37}}{2} \right) \left( n + \frac{5 + \sqrt{37}}{2} \right)$.

2) Рассмотрим трехчлен $2 - 3n - 2n^2$. Запишем его в стандартном виде: $-2n^2 - 3n + 2$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $-2n^2 - 3n + 2 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$: $2n^2 + 3n - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$.
$n_1 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$n_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
Используем формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$. Для исходного трехчлена $-2n^2 - 3n + 2$ коэффициент $a=-2$.
$-2n^2 - 3n + 2 = -2 \left( n - \frac{1}{2} \right) (n - (-2)) = -2 \left( n - \frac{1}{2} \right) (n + 2)$.
Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель $-2$ в первую скобку: $-2 \left( n - \frac{1}{2} \right) = -2n + 1 = 1 - 2n$.
Таким образом, разложение имеет вид: $(1 - 2n)(n + 2)$.
Ответ: $(1 - 2n)(n + 2)$.

3) Трехчлен $-11n^2 + 3n + 14$ уже записан в стандартном виде.
Найдем корни уравнения $-11n^2 + 3n + 14 = 0$.
Умножим на $-1$: $11n^2 - 3n - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-14) = 9 + 616 = 625 = 25^2$.
Корни уравнения: $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-3) \pm 25}{2 \cdot 11} = \frac{3 \pm 25}{22}$.
$n_1 = \frac{3 + 25}{22} = \frac{28}{22} = \frac{14}{11}$.
$n_2 = \frac{3 - 25}{22} = \frac{-22}{22} = -1$.
Применим формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$. В исходном трехчлене $a=-11$.
$-11n^2 + 3n + 14 = -11 \left( n - \frac{14}{11} \right) (n - (-1)) = -11 \left( n - \frac{14}{11} \right) (n + 1)$.
Внесем множитель $-11$ в первую скобку: $-11 \left( n - \frac{14}{11} \right) = -11n + 14 = 14 - 11n$.
Получаем разложение: $(14 - 11n)(n + 1)$.
Ответ: $(14 - 11n)(n + 1)$.

4) Рассмотрим трехчлен $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6$.
Способ 1: Вынесение общего множителя.
Вынесем коэффициент при старшем члене, $-\frac{2}{3}$, за скобки:
$-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6 = -\frac{2}{3} \left( n^2 - \frac{4}{2/3}n + \frac{6}{2/3} \right) = -\frac{2}{3} \left( n^2 - 4 \cdot \frac{3}{2}n + 6 \cdot \frac{3}{2} \right) = -\frac{2}{3} (n^2 - 6n + 9)$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $n^2 - 6n + 9 = n^2 - 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = (n-3)^2$.
Следовательно, разложение имеет вид: $-\frac{2}{3}(n-3)^2$.
Способ 2: Нахождение корней.
Решим уравнение $-\frac{2}{3}n^2 + 4n - 6 = 0$. Умножим обе части на $-\frac{3}{2}$:
$n^2 - 6n + 9 = 0$.
Это уравнение соответствует полному квадрату $(n-3)^2=0$, откуда получаем один корень $n=3$ (кратности 2).
Используем формулу разложения $a(n-n_1)(n-n_2)$, где $a = -\frac{2}{3}$ и $n_1=n_2=3$.
$-\frac{2}{3}(n-3)(n-3) = -\frac{2}{3}(n-3)^2$.
Ответ: $-\frac{2}{3}(n-3)^2$.