Номер 9.10, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.10. Докажите, что при любых значениях $x$ принимает отрицательные значения квадратный трехчлен:

1) $-x^2 - 6x - 17$;

2) $-x^2 + x - 7$;

3) $-x^2 + 4x - 7$;

4) $-x^2 + 6x - 27$.

1) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 - 6x - 17$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат. Это позволит найти его наибольшее значение.
$-x^2 - 6x - 17 = -(x^2 + 6x) - 17 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 17 = -((x + 3)^2 - 9) - 17 = -(x + 3)^2 + 9 - 17 = -(x+3)^2 - 8$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x+3)^2 - 8$.
Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то $(x+3)^2 \ge 0$ для любых $x$.
Соответственно, выражение $-(x+3)^2$ является неположительным, то есть $-(x+3)^2 \le 0$.
Наибольшее значение, которое может принять слагаемое $-(x+3)^2$, равно $0$. Это значение достигается при $x = -3$.
Следовательно, наибольшее значение всего трехчлена равно $0 - 8 = -8$.
Так как максимальное значение трехчлена равно $-8$, то есть является отрицательным числом, то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + x - 7$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + x - 7 = -(x^2 - x) - 7 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) - 7 = -((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 7 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} - 7 = -(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$.
Выражение $(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неотрицательно: $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно: $-(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x - \frac{1}{2})^2$ равно $0$ (достигается при $x = \frac{1}{2}$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - \frac{27}{4} = -\frac{27}{4}$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-\frac{27}{4}$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + 4x - 7$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + 4x - 7 = -(x^2 - 4x) - 7 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 7 = -((x - 2)^2 - 4) - 7 = -(x - 2)^2 + 4 - 7 = -(x-2)^2 - 3$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x-2)^2 - 3$.
Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно: $(x-2)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-2)^2$ всегда неположительно: $-(x-2)^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x-2)^2$ равно $0$ (достигается при $x = 2$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - 3 = -3$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-3$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Чтобы доказать, что квадратный трехчлен $-x^2 + 6x - 27$ принимает отрицательные значения при любых значениях $x$, преобразуем его, выделив полный квадрат.
$-x^2 + 6x - 27 = -(x^2 - 6x) - 27 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2) - 27 = -((x - 3)^2 - 9) - 27 = -(x - 3)^2 + 9 - 27 = -(x-3)^2 - 18$.
Рассмотрим полученное выражение $-(x-3)^2 - 18$.
Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно: $(x-3)^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $-(x-3)^2$ всегда неположительно: $-(x-3)^2 \le 0$.
Наибольшее значение слагаемого $-(x-3)^2$ равно $0$ (достигается при $x = 3$).
Тогда наибольшее значение всего выражения равно $0 - 18 = -18$.
Поскольку максимальное значение трехчлена равно $-18$ (отрицательное число), то при любых значениях $x$ данный трехчлен принимает только отрицательные значения.
Ответ: Что и требовалось доказать.