Номер 9.6, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выделите квадраты двучлена из квадратных трехчленов (9.6–9.8):

9.6.1) $x^2 + 6x - 18;$

2) $x^2 + 8x - 11;$

3) $x^2 + 5x - 8;$

4) $x^2 + 7x - 1;$

5) $-x^2 + 7x - 12;$

6) $-x^2 + 8x + 8.$

1) Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена $x^2 + 6x - 18$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$ (значит, $a=x$), а $6x$ соответствует удвоенному произведению $2ab$.
То есть, $2xb = 6x$, откуда $b=3$.
Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 3^2 = 9$.
Добавим и вычтем 9, чтобы не изменить выражение:
$x^2 + 6x - 18 = (x^2 + 6x + 9) - 9 - 18$.
Первые три слагаемых теперь образуют полный квадрат $(x+3)^2$.
Сгруппируем их и вычислим оставшуюся часть:
$(x^2 + 6x + 9) - 9 - 18 = (x+3)^2 - 27$.
Ответ: $(x+3)^2 - 27$.

2) Рассмотрим трехчлен $x^2 + 8x - 11$. Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$. Слагаемое $8x$ является удвоенным произведением $2ab$, то есть $2xb = 8x$, откуда $b=4$.
Для полного квадрата необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$.
Добавим и вычтем 16:
$x^2 + 8x - 11 = (x^2 + 8x + 16) - 16 - 11$.
Сворачиваем полный квадрат и вычисляем остаток:
$(x^2 + 8x + 16) - 16 - 11 = (x+4)^2 - 27$.
Ответ: $(x+4)^2 - 27$.

3) Для трехчлена $x^2 + 5x - 8$ применим тот же метод.
По формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$, имеем $2xb = 5x$, откуда $b = \frac{5}{2}$.
Тогда $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$.
Добавим и вычтем это значение:
$x^2 + 5x - 8 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} - 8$.
Выражение в скобках равно $(x + \frac{5}{2})^2$.
Вычисляем оставшуюся часть, приводя 8 к знаменателю 4:
$(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} - \frac{32}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 - \frac{57}{4}$.
Ответ: $(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{57}{4}$.

4) Рассмотрим $x^2 + 7x - 1$.
По формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$, имеем $2xb = 7x$, откуда $b = \frac{7}{2}$.
Тогда $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем это значение:
$x^2 + 7x - 1 = (x^2 + 7x + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} - 1$.
Выражение в скобках равно $(x + \frac{7}{2})^2$.
Вычисляем оставшуюся часть, приводя 1 к знаменателю 4:
$(x + \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} - \frac{4}{4} = (x + \frac{7}{2})^2 - \frac{53}{4}$.
Ответ: $(x + \frac{7}{2})^2 - \frac{53}{4}$.

5) В выражении $-x^2 + 7x - 12$ коэффициент при $x^2$ равен -1. Сначала вынесем -1 за скобки:
$-x^2 + 7x - 12 = -(x^2 - 7x + 12)$.
Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 7x$. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, а $-7x$ это $-2ab$, т.е. $-2xb = -7x$, откуда $b = \frac{7}{2}$.
Нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$.
Добавим и вычтем его внутри скобок:
$-(x^2 - 7x + 12) = -( (x^2 - 7x + \frac{49}{4}) - \frac{49}{4} + 12 )$.
Группируем слагаемые и вычисляем:
$-( (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4} ) = -( (x - \frac{7}{2})^2 - \frac{1}{4} )$.
Раскрываем внешние скобки, меняя знаки:
$-(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{1}{4}$.
Ответ: $-(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{1}{4}$.

6) В выражении $-x^2 + 8x + 8$ также вынесем -1 за скобки:
$-x^2 + 8x + 8 = -(x^2 - 8x - 8)$.
Выделим полный квадрат для $x^2 - 8x$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a=x$, $-2xb = -8x$, откуда $b=4$.
Требуемое слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$.
Добавим и вычтем 16 внутри скобок:
$-(x^2 - 8x - 8) = -( (x^2 - 8x + 16) - 16 - 8 )$.
Группируем слагаемые:
$-( (x - 4)^2 - 24 )$.
Раскрываем внешние скобки:
$-(x - 4)^2 + 24$.
Ответ: $-(x - 4)^2 + 24$.