Номер 9.5, страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.5. 1) $-3x^2 + 6x + 18$;

2) $10x^2 + 3x - 18$;

3) $-2x^2 + 9x - 8$;

4) $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2$.

1) Чтобы разложить квадратный трехчлен $-3x^2 + 6x + 18$ на множители, нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения $-3x^2 + 6x + 18 = 0$. Для разложения используется формула $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

Решим уравнение $-3x^2 + 6x + 18 = 0$. Для удобства разделим обе части на $-3$:$x^2 - 2x - 6 = 0$.Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$.Таким образом, $x_1 = 1 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{7}$.Теперь подставим корни в формулу разложения, учитывая, что старший коэффициент $a = -3$:$-3x^2 + 6x + 18 = -3(x - (1 + \sqrt{7}))(x - (1 - \sqrt{7})) = -3(x - 1 - \sqrt{7})(x - 1 + \sqrt{7})$.Ответ: $-3(x - 1 - \sqrt{7})(x - 1 + \sqrt{7})$.

2) Разложим на множители трехчлен $10x^2 + 3x - 18$.Найдем корни уравнения $10x^2 + 3x - 18 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-18) = 9 + 720 = 729$.$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 27}{2 \cdot 10} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5}$.$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 27}{2 \cdot 10} = \frac{-30}{20} = -\frac{3}{2}$.Подставим корни в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $a = 10$:$10x^2 + 3x - 18 = 10(x - \frac{6}{5})(x - (-\frac{3}{2})) = 10(x - \frac{6}{5})(x + \frac{3}{2})$.Чтобы избавиться от дробей в скобках, представим $10$ как $5 \cdot 2$ и умножим каждую скобку на соответствующий множитель:$10(x - \frac{6}{5})(x + \frac{3}{2}) = (5 \cdot (x - \frac{6}{5})) \cdot (2 \cdot (x + \frac{3}{2})) = (5x - 6)(2x + 3)$.Ответ: $(5x - 6)(2x + 3)$.

3) Разложим на множители трехчлен $-2x^2 + 9x - 8$.Найдем корни уравнения $-2x^2 + 9x - 8 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-8) = 81 - 64 = 17$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-9 \pm \sqrt{17}}{-4} = \frac{9 \mp \sqrt{17}}{4}$.Таким образом, $x_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{4}$ и $x_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{4}$.Подставим корни в формулу разложения, где $a = -2$:$-2x^2 + 9x - 8 = -2(x - \frac{9 - \sqrt{17}}{4})(x - \frac{9 + \sqrt{17}}{4})$.Ответ: $-2(x - \frac{9 - \sqrt{17}}{4})(x - \frac{9 + \sqrt{17}}{4})$.

4) Разложим на множители трехчлен $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2$.Найдем корни уравнения $-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2 = 0$.Умножим уравнение на $-4$, чтобы избавиться от дроби и знака минус при старшем члене:$x^2 - 28x + 8 = 0$.Дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 784 - 32 = 752$.$\sqrt{D} = \sqrt{752} = \sqrt{16 \cdot 47} = 4\sqrt{47}$.Корни уравнения:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 4\sqrt{47}}{2 \cdot 1} = 14 \pm 2\sqrt{47}$.Таким образом, $x_1 = 14 + 2\sqrt{47}$ и $x_2 = 14 - 2\sqrt{47}$.Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a = -\frac{1}{4}$:$-\frac{1}{4}x^2 + 7x - 2 = -\frac{1}{4}(x - (14 + 2\sqrt{47}))(x - (14 - 2\sqrt{47})) = -\frac{1}{4}(x - 14 - 2\sqrt{47})(x - 14 + 2\sqrt{47})$.Ответ: $-\frac{1}{4}(x - 14 - 2\sqrt{47})(x - 14 + 2\sqrt{47})$.