Номер 9.7, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.7.1) $2x^2 + 5x - 18$;

2) $4x^2 + 7x - 8$;

3) $5x^2 + 9x - 8$;

4) $0.2x^2 + 6x - 18$;

5) $\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1$;

6) $\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1$.

1) Для разложения квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
Решим уравнение $2x^2 + 5x - 18 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Подставим корни в формулу разложения:
$2x^2 + 5x - 18 = 2(x - 2)(x - (-\frac{9}{2})) = 2(x - 2)(x + \frac{9}{2})$.
Можно также внести множитель 2 во вторую скобку: $2(x - 2)(x + \frac{9}{2}) = (x - 2)(2x + 9)$.
Ответ: $2(x - 2)(x + \frac{9}{2})$ или $(x - 2)(2x + 9)$.

2) Решим уравнение $4x^2 + 7x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-8) = 49 + 128 = 177$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{177}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 + \sqrt{177}}{8}$.
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{177}}{2 \cdot 4} = \frac{-7 - \sqrt{177}}{8}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$4x^2 + 7x - 8 = 4(x - \frac{-7 + \sqrt{177}}{8})(x - \frac{-7 - \sqrt{177}}{8})$.
Ответ: $4(x - \frac{-7 + \sqrt{177}}{8})(x - \frac{-7 - \sqrt{177}}{8})$.

3) Решим уравнение $5x^2 + 9x - 8 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 81 + 160 = 241$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-9 + \sqrt{241}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + \sqrt{241}}{10}$.
$x_2 = \frac{-9 - \sqrt{241}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - \sqrt{241}}{10}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$5x^2 + 9x - 8 = 5(x - \frac{-9 + \sqrt{241}}{10})(x - \frac{-9 - \sqrt{241}}{10})$.
Ответ: $5(x - \frac{-9 + \sqrt{241}}{10})(x - \frac{-9 - \sqrt{241}}{10})$.

4) Решим уравнение $0,2x^2 + 6x - 18 = 0$. Коэффициент $a=0,2$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 0,2 \cdot (-18) = 36 + 14,4 = 50,4$.
Поскольку работать с десятичными дробями под корнем неудобно, преобразуем уравнение, умножив обе части на 5: $x^2 + 30x - 90 = 0$. Корни этого уравнения будут такими же.
Найдем дискриминант для нового уравнения: $D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 900 + 360 = 1260$.
$\sqrt{D} = \sqrt{1260} = \sqrt{36 \cdot 35} = 6\sqrt{35}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-30 + 6\sqrt{35}}{2} = -15 + 3\sqrt{35}$.
$x_2 = \frac{-30 - 6\sqrt{35}}{2} = -15 - 3\sqrt{35}$.
Подставим корни в формулу разложения, используя исходный коэффициент $a=0,2$:
$0,2x^2 + 6x - 18 = 0,2(x - (-15 + 3\sqrt{35}))(x - (-15 - 3\sqrt{35})) = 0,2(x + 15 - 3\sqrt{35})(x + 15 + 3\sqrt{35})$.
Ответ: $0,2(x + 15 - 3\sqrt{35})(x + 15 + 3\sqrt{35})$.

5) Решим уравнение $\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot (-1) = 49 + 1 = 50$.
$\sqrt{D} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{-7 + 5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2(-7 + 5\sqrt{2}) = -14 + 10\sqrt{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{-7 - 5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 2(-7 - 5\sqrt{2}) = -14 - 10\sqrt{2}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$\frac{1}{4}x^2 + 7x - 1 = \frac{1}{4}(x - (-14 + 10\sqrt{2}))(x - (-14 - 10\sqrt{2})) = \frac{1}{4}(x + 14 - 10\sqrt{2})(x + 14 + 10\sqrt{2})$.
Ответ: $\frac{1}{4}(x + 14 - 10\sqrt{2})(x + 14 + 10\sqrt{2})$.

6) Решим уравнение $\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-1) = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3}$.
$\sqrt{D} = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = (2 + \frac{4\sqrt{3}}{3}) \cdot \frac{3}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{2}{3}} = (2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}) \cdot \frac{3}{2} = 3 - 2\sqrt{3}$.
Подставим корни в формулу разложения $a(x-x_1)(x-x_2)$:
$\frac{1}{3}x^2 - 2x - 1 = \frac{1}{3}(x - (3 + 2\sqrt{3}))(x - (3 - 2\sqrt{3})) = \frac{1}{3}(x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})$.
Ответ: $\frac{1}{3}(x - 3 - 2\sqrt{3})(x - 3 + 2\sqrt{3})$.