Номер 9.13, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите квадратные трехчлены на множители (9.13–9.17):

9.13. 1) $x^2 - 5x + 6;$ 2) $x^2 + 5x + 6;$ 3) $x^2 - 2x - 8;$
4) $x^2 - 8x + 15;$ 5) $x^2 - 14x + 40;$ 6) $x^2 + 11x + 30.$

1) $x^2 - 5x + 6$
Для того чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, необходимо найти корни соответствующего ему квадратного уравнения: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Для нахождения корней воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$.
В данном уравнении коэффициенты $p = -5$ и $q = 6$. Следовательно, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -(-5) = 5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Методом подбора находим, что этими числами являются 2 и 3. Таким образом, корни уравнения $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Формула для разложения квадратного трехчлена на множители имеет вид $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$. В нашем случае коэффициент $a=1$, поэтому формула упрощается до $(x-x_1)(x-x_2)$.
Подставив найденные корни, получаем:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x - 2)(x - 3)$

2) $x^2 + 5x + 6$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 5x + 6 = (x - (-2))(x - (-3)) = (x + 2)(x + 3)$.
Ответ: $(x + 2)(x + 3)$

3) $x^2 - 2x - 8$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -8$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x - (-2)) = (x - 4)(x + 2)$.
Ответ: $(x - 4)(x + 2)$

4) $x^2 - 8x + 15$
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 15$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$.
Ответ: $(x - 3)(x - 5)$

5) $x^2 - 14x + 40$
Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 40 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-14) = 14$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 40$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 10$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 - 14x + 40 = (x - 4)(x - 10)$.
Ответ: $(x - 4)(x - 10)$

6) $x^2 + 11x + 30$
Найдем корни уравнения $x^2 + 11x + 30 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -11$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 30$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = -6$.
Подставляем корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 11x + 30 = (x - (-5))(x - (-6)) = (x + 5)(x + 6)$.
Ответ: $(x + 5)(x + 6)$