Номер 9.18, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите дроби (9.18—9.19):

9.18. 1) $ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} $;

2) $ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} $;

3) $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $;

4) $ \frac{2 + 3a}{3a^2 - 13a - 10} $.

1) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} $, разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $ a^2 - a - 56 = 0 $.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней $ a_1 + a_2 = -(-1) = 1 $, а их произведение $ a_1 \cdot a_2 = -56 $. Подбором находим корни: $ a_1 = 8 $ и $ a_2 = -7 $.

Таким образом, числитель можно представить в виде: $ a^2 - a - 56 = (a - 8)(a - (-7)) = (a - 8)(a + 7) $.

Подставим полученное разложение в исходную дробь:

$ \frac{a^2 - a - 56}{a - 8} = \frac{(a - 8)(a + 7)}{a - 8} $

Сократим общий множитель $ (a - 8) $ (при условии, что $ a \neq 8 $):

$ \frac{\cancel{(a - 8)}(a + 7)}{\cancel{a - 8}} = a + 7 $

Ответ: $ a + 7 $.

2) Чтобы сократить дробь $ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} $, разложим на множители числитель, решив квадратное уравнение $ a^2 + 6a - 27 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней $ a_1 + a_2 = -6 $, а их произведение $ a_1 \cdot a_2 = -27 $. Отсюда находим корни: $ a_1 = -9 $ и $ a_2 = 3 $.

Разложим числитель на множители: $ a^2 + 6a - 27 = (a - (-9))(a - 3) = (a + 9)(a - 3) $.

Подставим разложение в дробь:

$ \frac{a^2 + 6a - 27}{a + 9} = \frac{(a + 9)(a - 3)}{a + 9} $

Сократим общий множитель $ (a + 9) $ (при условии, что $ a \neq -9 $):

$ \frac{\cancel{(a + 9)}(a - 3)}{\cancel{a + 9}} = a - 3 $

Ответ: $ a - 3 $.

3) Рассмотрим дробь $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $. Разложим числитель и знаменатель на множители.

Разложение числителя: $ a^2 + 6a = a(a + 6) $.

Для разложения знаменателя $ 2a^2 + 7a + 3 $ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ 2a^2 + 7a + 3 = 0 $.

Вычислим дискриминант: $ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

Найдем корни: $ a_1 = \frac{-7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $; $ a_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $.

Разложение знаменателя: $ 2a^2 + 7a + 3 = 2(a - (-3))(a - (-\frac{1}{2})) = 2(a + 3)(a + \frac{1}{2}) = (a + 3)(2a + 1) $.

Теперь дробь имеет вид: $ \frac{a(a + 6)}{(a + 3)(2a + 1)} $.

Поскольку у числителя и знаменателя нет общих множителей, данная дробь не может быть сокращена.

Ответ: $ \frac{a^2 + 6a}{2a^2 + 7a + 3} $.

4) Чтобы сократить дробь $ \frac{2 + 3a}{3a^2 - 13a - 10} $, разложим на множители знаменатель, решив уравнение $ 3a^2 - 13a - 10 = 0 $.

Вычислим дискриминант: $ D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289 = 17^2 $.

Найдем корни: $ a_1 = \frac{13 - 17}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $; $ a_2 = \frac{13 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $.

Разложение знаменателя: $ 3a^2 - 13a - 10 = 3(a - (-\frac{2}{3}))(a - 5) = 3(a + \frac{2}{3})(a - 5) = (3a + 2)(a - 5) $.

Подставим разложение в дробь, заметив, что $ 2 + 3a = 3a + 2 $:

$ \frac{3a + 2}{(3a + 2)(a - 5)} $

Сократим общий множитель $ (3a + 2) $ (при условии, что $ a \neq -\frac{2}{3} $):

$ \frac{\cancel{3a + 2}}{\cancel{(3a + 2)}(a - 5)} = \frac{1}{a - 5} $

Ответ: $ \frac{1}{a - 5} $.