Номер 9.25, страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Сократите дроби (9.25–9.27):

9.25. 1)
$\frac{a^2 - 9}{5a^2 - 13a - 6}$;

2) $\frac{4 - a^2}{7a^2 - 9a - 10}$;

3) $\frac{(a - 1)^2 - 1}{3a^2 - 11a + 10}$;

4) $\frac{a^2 - 8a - 9}{a^2 - 6a - 27}$.

1) $\frac{a^2 - 9}{5a^2 - 13a - 6}$

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$a^2 - 9 = a^2 - 3^2 = (a-3)(a+3)$.

Разложим знаменатель, который является квадратным трехчленом $5a^2 - 13a - 6$. Для этого найдем корни уравнения $5a^2 - 13a - 6 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$;

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Тогда разложение трехчлена имеет вид: $5(a - 3)(a - (-\frac{2}{5})) = 5(a - 3)(a + \frac{2}{5}) = (a - 3)(5a + 2)$.

Подставим разложения в исходную дробь:

$\frac{(a-3)(a+3)}{(a-3)(5a+2)}$

Сократим общий множитель $(a-3)$:

$\frac{a+3}{5a+2}$

Ответ: $\frac{a+3}{5a+2}$

2) $\frac{4 - a^2}{7a^2 - 9a - 10}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a) = -(a - 2)(a + 2)$.

Разложим знаменатель, найдя корни уравнения $7a^2 - 9a - 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-10) = 81 + 280 = 361 = 19^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{9 + 19}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$;

$a_2 = \frac{9 - 19}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7}$.

Разложение знаменателя: $7(a - 2)(a - (-\frac{5}{7})) = 7(a - 2)(a + \frac{5}{7}) = (a - 2)(7a + 5)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{-(a - 2)(a + 2)}{(a - 2)(7a + 5)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$-\frac{a+2}{7a+5}$

Ответ: $-\frac{a+2}{7a+5}$

3) $\frac{(a - 1)^2 - 1}{3a^2 - 11a + 10}$

Разложим числитель по формуле разности квадратов:

$(a - 1)^2 - 1 = (a - 1 - 1)(a - 1 + 1) = (a - 2)a$.

Разложим знаменатель, найдя корни уравнения $3a^2 - 11a + 10 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 121 - 120 = 1 = 1^2$.

Корни уравнения: $a_1 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;

$a_2 = \frac{11 - 1}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Разложение знаменателя: $3(a - 2)(a - \frac{5}{3}) = (a - 2)(3a - 5)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{a(a - 2)}{(a - 2)(3a - 5)}$

Сократим общий множитель $(a - 2)$:

$\frac{a}{3a - 5}$

Ответ: $\frac{a}{3a - 5}$

4) $\frac{a^2 - 8a - 9}{a^2 - 6a - 27}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Для числителя $a^2 - 8a - 9 = 0$ найдем корни. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = 8$, $a_1 \cdot a_2 = -9$. Корни: $a_1 = 9$, $a_2 = -1$.

Разложение числителя: $(a - 9)(a - (-1)) = (a - 9)(a + 1)$.

Для знаменателя $a^2 - 6a - 27 = 0$ найдем корни. По теореме Виета: $a_1 + a_2 = 6$, $a_1 \cdot a_2 = -27$. Корни: $a_1 = 9$, $a_2 = -3$.

Разложение знаменателя: $(a - 9)(a - (-3)) = (a - 9)(a + 3)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(a - 9)(a + 1)}{(a - 9)(a + 3)}$

Сократим общий множитель $(a - 9)$:

$\frac{a + 1}{a + 3}$

Ответ: $\frac{a+1}{a+3}$