Номер 9.30, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.30. Докажите, что имеют общий корень квадратные трехчлены:

1) $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$;

2) $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$.

1) Чтобы доказать, что квадратные трехчлены $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$ имеют общий корень, воспользуемся свойством, что если такой корень $x_0$ существует, то он обращает в ноль оба трехчлена, а следовательно, и их сумму.

Найдем сумму данных трехчленов:

$(14x^2 + 19x - 3) + (-14x^2 + 37x - 5) = (14-14)x^2 + (19+37)x + (-3-5) = 56x - 8$.

Найдем корень получившегося линейного уравнения. Этот корень является единственным кандидатом на общий корень исходных трехчленов.

$56x - 8 = 0$

$56x = 8$

$x = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}$

Проверим, является ли $x = \frac{1}{7}$ корнем первого трехчлена, подставив это значение в него:

$14(\frac{1}{7})^2 + 19(\frac{1}{7}) - 3 = 14 \cdot \frac{1}{49} + \frac{19}{7} - 3 = \frac{2}{7} + \frac{19}{7} - 3 = \frac{21}{7} - 3 = 3 - 3 = 0$.

Поскольку значение трехчлена обратилось в ноль, $x = \frac{1}{7}$ является его корнем. Таким образом, доказано, что данные трехчлены имеют общий корень.

Ответ: Трехчлены $14x^2 + 19x - 3$ и $-14x^2 + 37x - 5$ имеют общий корень $x = \frac{1}{7}$.

2) Для трехчленов $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$ применим тот же метод. Найдем их сумму:

$(-15x^2 + 4x + 4) + (15x^2 + x - 2) = (-15+15)x^2 + (4+1)x + (4-2) = 5x + 2$.

Найдем корень получившегося линейного уравнения:

$5x + 2 = 0$

$5x = -2$

$x = -\frac{2}{5}$

Проверим, является ли $x = -\frac{2}{5}$ корнем второго трехчлена:

$15(-\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5}) - 2 = 15 \cdot \frac{4}{25} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{60}{25} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{12}{5} - \frac{2}{5} - 2 = \frac{10}{5} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Поскольку значение трехчлена обратилось в ноль, $x = -\frac{2}{5}$ является его корнем. Таким образом, доказано, что данные трехчлены имеют общий корень.

Ответ: Трехчлены $-15x^2 + 4x + 4$ и $15x^2 + x - 2$ имеют общий корень $x = -\frac{2}{5}$.